循深度建构之理展高效课堂之魅

孙惠惠

建构主义认为，学习过程中，教师要积极了解学生真实的思考情况，注意学生的学习过程，并将这一实际情况作为教学的实际出发点，为学生学习活动提供一个良好的环境。建构的过程不是一蹴而就的，在整个过程中，需要组织活动对学习对象进行充分了解；需要运用确切的词汇表达对数学知识结构的相异看法；需要异中求同与同中求异，通过辨析、沟通、建立联系，凸显本质，摒弃非本质，形成总体看法，进行思考活动。

一、善用表征策略，促进深度建构

学生的学习遵循两条基本原则：一是知识的发展序列，二是学生的学习特点。教师基于这两条原则，善用表征策略，了解学生在学习过程中的真实想法，从中发现学习推进的介入点，实施针对性的引导和帮助，是实现深度建构的关键。

1.有序表征知识结构，循序抽象巧建构。

儿童的表征能力依赖于学习数学过程中的经验积累，表征既是数学的一部分，又是理解数学的手段。在教学设计中，遵循知识本体的结构，呈现知识在不同学习阶段的表征，能帮助学生借助直观形象素材，形成有序联结的知识体系。

教学中，教师分别引导学生在实物、图形、符号的情境下体验2倍的形成过程（见图1），要求观察图形表征，并用语言表征的形式予以表达。同时，教师积极引导学生对不同的表征进行比较，“这些图中的形状、个数都不一样，但为什么我们说第二行的个数都是第一行的2倍呢？”引导学生发现，不管第一行摆几个，只要把它看成一份，第二行摆这样的两份，第二行的数量就是第一行的2倍。

图1 “2倍”知识形成序列图

在这一过程中，图形表征为学生的表达提供了直观模型；符号表征避免了冗长繁琐的叙述，同时又弥补和超越了图形语言的局限性，使思维得以准确清晰地进行；文字表征有利于对数学对象的意义与内涵进行概括和提炼，使学生能够在运用确切的词汇表达对数学知识结构看法的过程中，实现对知识的有效建构。

2.分层表征思维水平，因生制宜巧建构。

在班级授课制的环境下，班级中的学生有不同的学习水平，合理运用表征能清晰呈现学生的思维水平差异，有助于教师更好地引导学生学习，让每一位学生在原有学习起点上获得发展。

某位教师在执教《除数是整数的小数除法》一课中出示了这样一道题：“为了参加达标运动会，王鹏同学给自己制定了一个锻炼的计划：“我计划4周跑步22.4千米，平均每周应跑多少千米？”学生列出算式后教师继续追问“22.4÷4大约等于多少呢？你觉得可以怎么算？把你想到的方法写在这张纸上。”学生独立思考后呈现几种典型的思维过程（见图 2）。

图2 22.4÷4学生解答过程图例

学生在呈现并交流了计算22.4÷4的多种表征后，在此基础上，教师进一步引导学生对这几种表征进行比较，寻找它们之间的联系。学生不难发现方法之间是有联系的，比较生1和生2的方法后发现，都是把小数转化成整数除法来计算的，计算的时候可以先扩大10倍也可以先扩大1000倍，只要计算后能缩小相应的倍数都能有效解决问题；比较生3和生4的方法后发现，用竖式计算小数除法的算理就是分步求商再求和的过程，都是先算20÷4，再算 2.4÷4，最后合起来。比较生4和生5的方法后发现，争议聚焦在22.4-20的余数在竖式中应该记为24还是2.4，在学生的原生态表征中明确地揭示了这个知识的学习难点，通过讨论“这里的24表示什么”学生理解到这个小数点不管点还是不点，2还是在（个位），4还是在（十分位），它们的数位没有变，这里的24还是表示24个十分之一，所以这里的小数点通常省略不写，也就是说这两种想法其实是一样的。

通过暴露学生不同层次的相异构想，并将这些不同水平层次的思维作为资源提供给学生交流与沟通，不仅使学生对22.4除以4的算理理解更加透彻，而且更重要的是培养了学生用联系的观点看待问题，发展学生的思维能力，实现了深度建构。

二、巧用对比策略，促进深度建构

对比作为一种数学教学策略，能有效沟通知识的联系，挖掘知识的内涵，辨析方法的优劣，实现数学的效用，从而提升教学实效。

1.精细对比相邻结构，逐层归纳巧建构。

三角形的面积计算公式有多种推导方法，学生常用的方法有拼组法和割补法。虽然推导的方式途径众多（见图3），但涉及锐角、钝角、直角，每类角又有不同的割补和拼组方法，在归纳中往往容易顾此失彼，不能直击问题本质，这个问题该如何解决呢？一位教师在教学中采用了问题梳理的方式，通过两个问题的连续追问，帮助学生逐层分类比较，深刻直击问题本源。

图3 三角形面积公式推导示意图

第一个问题是观察锐角三角形的三种推导方法，分析为什么都要除以2？学生经过逐类观察发现，方法一：除以2是指面积扩大两倍后再缩小两倍；方法二：除以2是指割补后，高是原来的一半；方法三：除以2是指割补后底是原来的一半。回归具体情境进行解读分析，有助于让学生清晰地感知到，虽然都是除以2，但操作过程和方法是不同的，更好地进行归纳提炼。

第二个问题是为什么三角形种类不同，却都可以用“底×高÷2”的方法来进行计算？学生通过讨论后发现，不管是什么类型的三角形，如果用方法一，除以2都是指等底等高的平行四边形面积的一半；如果用方法二，除以2都是指高的一半；如果用方法三，除以2都是指底的一半。

知识的形成过程中会产生本质特征和非本质特征，本质特征有时内隐，非本质特征通常外显，学生认识能力不同，其在观察中的表征能力也不同。教学中，通过对这些相邻结构的对比分析，有助于学生更好地把握知识的本质特征，丰富问题解决的视角、优化问题解决的方法。

2．多元对比相异构想，分类梳理巧建构。

学生的每一个想法，都是一份不可多得的教学资源。一年级问题解决中有这样一道题：“从左边数起，小军排第三个；从右边数起，小强排第六个，这排队伍一共有多少人？”学生交流后呈现以下三种情况。

排队问题学生算式解法汇总表

三种方法都解决了问题，但从其表征中暴露了他们的思维过程，三位学生的水平层次不一。解法一的学生，能用算式解决问题，但问题的结构被理解成“藏起来的部分+看得见的部分”，问题虽然解决了，但是题目中提供的信息“小军排第三，小强排第六”没有在算式中体现，这两个信息仅作一个线索，成为了问题分析的基础。解法二的学生问题结构意识较为清楚，画图分解的结构与问题信息完全匹配，合理利用信息分解图像，利用分解图像更清楚地显示问题结构，数形结合得当。解法三的学生，思维灵活逻辑性强，已经有了初步的一一对应意识和集合意识，运用了一个已知信息和一个分析过程中得到的信息写出了算式，方法最为简单。

在表征和计算之后，通过对话交流的方式让思维的每一个步骤都有相应的数学表达方式与之对应，可以避免学生盲目解答和胡乱凑数情况的产生。通过三种不同表征方式的比较，学生对于基数、序数的知识要点有了更深入的理解，并且能根据自己的实际学习能力选择合适的方式表达自己的数学想法，不仅实现了知识的深度建构，并且为同类问题的解决积累了方法和策略，为学习力的持续提升奠定了基础。