让教学更具生长的力量——《钉子板上的多边形》教学实录与思考

陈 晨

【教学内容】

苏教版五年级上册第108～109页。

【教学过程】

一、问题引入，诱发生长

（课件出示几个简单的图形）

谈话：同学们，咱们来玩一个竞答游戏。请快速求出屏幕上平面图形的面积。

提问：你是怎么求的？

生：根据图形的面积公式算出来的。

生：数的方法，先数整格，再数半格，两者的结果相加。

（课件出示较复杂的图形）

追问：你能快速求得这个图形的面积吗？

（学生纷纷表示有困难）

二、分层探索，自然生长

1.起：从“a=1”开始。

提问：你能求出这四个多边形的面积吗？

追问：观察一下，钉子板上多边形的面积可能和什么有关？

生∶可能跟钉子数有关。

生：钉子数越多，面积越大。

师：你们感觉和钉子板上的钉子数有关，这是一种非常好的感觉，但学习数学不能只靠感觉，今天我们就要通过学习活动，来探讨钉子板上多边形的面积与钉子数到底有怎样的关系。请同学们数一数多边形边上的钉子数。

提问：将数据整理在表格中，发现了吗？

师：为了更简洁、方便地表示出这个规律，我们可以用字母来表示。如果用S表示多边形的面积，n表示多边形边上的钉子数，那发现的这个规律可以怎样表示？（板书：S=n÷2）

（课件出示图形内有多个钉子的情况）

提问：这一发现是否适用于钉子板上的任何一个图形呢？

生：（齐）不适合。

追问：那此刻，咱们回过头来仔细观察上面四个多边形，你有什么话想说？

生：上面四个图形中间都只有一个钉子。

师：当规律被否定之后，我们再看图时，就要从这四个不同的多边形中找到它们的相同点。

生：也就是说要使这个发现成立的话，它必须得有一个前提。

师：如果用a表示多边形内部的钉子数，那当a等于几时，规律成立？（板书：a=1）

小结：多边形的面积不仅和边上的钉子数有关，还和多边形内的钉子数有关。

【思考：给学生提供一个安全自由、真诚包容的学习氛围，是建构生长型课堂的必备基础。在探究多边形内部一枚钉子的情况时，鼓励学生大胆猜想钉子板上多边形的面积可能与什么有关，学生猜想出与钉子数有关，肯定学生的猜想后，引导学生有序地数出各多边形边上的钉子数，并将数据整理到表格中，继而发现了规律。整个过程赏识、激励学生沿着正确的方向共同探究。此时，课堂成了“氧吧”，师生都能在“氧吧”里自由地呼吸、自由地生长。】

2.承：在“a=2”中发现。

师：同学们，咱们已经研究过多边形内有一枚钉子的情况了，而且找出了一般规律，下面你们想研究什么呢？

生：多边形里面有2枚、3枚、4枚……钉子的情况。

师：我们先从简单的入手，研究多边形里有2枚钉子的情况。小组合作，由组长制定研究方法。

过程指导：我们刚才已经知道，这里的面积不等于n÷2，但和n÷2有什么关系吗？

（根据小组汇报，板书：S=n÷2+1）

【思考：好的问题是引领学生继续生长的重要前提，同时，好的问题应具有一定的启示意义，有利于更大程度地发挥学生的思考力和创造力。在探究出多边形内部一枚钉子的情况后，追问“你们接下来想研究什么”，此问题的提出，更大限度地调动了学生探究的积极性，使学生愿意并且主动尝试解决问题。此时，知识的生长，必定是它自主的生长，而非被动地接受或强加。】

3.转：向“a=3，a=4……；a=0”拓展。

提问：通过探究，我们发现了S=n÷2和 S=n÷2+1这两个规律，请你大胆推测一下，当多边形内有3枚钉子时怎么求面积呢？4枚呢？10枚呢？……那如果里面没有钉子呢？

（各小组自由选择研究内容，然后自主开展探究活动，最后展开交流）

【思考：知识的生长，不是一蹴而就的，而是缓慢、平和、渐进的。在这个教学环节把握住教学的重点，分散教学的难点，没有将过多的知识点（内部2枚以及多于2枚钉子的情况）放在一起进行教学，保证学生在学习的过程中“吃得好”“吃得了”。在探究多边形内部3枚、4枚、5枚……以及没有钉子的情况时，组织各小组自由选择研究内容，自主开展探究活动。这个设计可以采集到诸多不同的研究内容，并为后续归纳规律提供更多的“佐证”。从而兼顾了知识生长中的“全面性”，使学生对钉子板上多边形的面积规律有了更为全面而深刻的认识。】

4.合：为“S=n÷2+a-1”准备。

师：同学们，要让自己变得聪明，首先要学会由“一点”想到“许多点”，例如，刚才大家由a=1，想到a=2、a=3等等；其次，我们还要学会把“许多点”变到“一点”，例如，你有没有想到把这些规律再合成一条规律呢？

（根据学生回答，板书：S=n÷2＋a-1）

【思考：由“一点”到“多点”，再由“多点”到“一点”，加深了学生对钉子板上多边形面积规律探究过程的感悟。在这过程中，学生亲历了“数学化”的建构过程。这样的理性回归，冷静思考，培养了学生提炼数学思想方法的能力，与课堂中热闹的探究动静结合，让课堂更有思维的含量。对学生而言，这是一种更高层次的生长——思维的生长。】

三、课外拓展，持续生长

师：我们今天研究的知识与这本书《格点和面积》还有很大联系。这是我国数学家闵嗣鹤的著作。大家可以看到第四章讲的就是格点多边形的面积公式。这句话介绍的是格点多边形的涵义：一个多边形的顶点如果全是格点，这个多边形叫做格点多边形。

今天研究的钉子板上的多边形其实就是格点多边形。

（教师向学生剖析该书对格点多边形面积规律的探究过程）

师：我为每位同学都准备了这本书，感兴趣的学生课后继续开展探究活动，并可以以数学小论文、数学小报等方式来呈现研究成果。

【思考：现今，课堂教学普遍追求“今日之事今日毕”，不愿意留下知识“黑洞”。其实，课堂的教学时间是有限的，但知识是无限的。所以教师在教学时不妨留点缺口、留点尾巴供学生课后探究，这样反而可以让学生学得更从容、更充分、更深入。在完成规律的探究后，我告知学生今天研究的知识与《格点和面积》有很大联系，并通过目录介绍，让学生知晓本书研究的主要内容。而后向学生介绍格点多边形的涵义。让学生领会出：今天研究的钉子板上的多边形其实就是格点多边形。并向学生剖析该书对格点多边形面积规律的探究过程，但由于时间限制，课堂上没能让学生完全理解这个颇具思考力的问题，所以为每位学生都准备了这本书，告诉学生：书中还有很多数学奥秘等着我们去发现，让感兴趣的学生课后继续开展探究活动。这一环节的创设，将学生探寻的目光引向课外，拓展了学生的视野。此时，课堂教学的作用只是推动学生持续研究的一个例子、一个引子。课堂虽然结束了，但思考还在延续，生长还在持续。】

四、回顾交流，智慧生长

师：通过今天的学习，你有什么收获？

总结：我们今天研究的规律就是数学上非常著名的皮克定理。在研究的过程中，我们从简单情形入手，通过画一画、数一数、算一算等方法，经历观察、比较、猜想、验证等活动，发现了规律。希望大家能将今天学习的收获运用到课后探究《格点和面积》书中的数学问题中去。

【思考：这是一个看似可以忽略的环节，其实不然。回顾交流探究的收获是积累数学活动经验的重要环节，能够提升学生的数学认识。还可以帮助学生建立自己的数学现实和数学学习的直觉，学会用数学的思维方式解决问题。并能将活动所得不断概括和内化，最终迁移到课后研究《格点和面积》书中的数学问题中去。将学生引向生成和开放的广阔天地，演绎出课堂的智慧与生长的精彩。】