不同椭球与投影参数的两套高斯平面坐标的变换方法

欧海平,吕长广,喻永平,刘显涛

(1.广州市城市规划勘测设计研究院，广东 广州 510060;2.山东正元建设工程有限责任公司，山东 济南 250100；3.黑龙江第二测绘工程院，黑龙江 哈尔滨 150025)

2018-07-01起，我国开始启用CGCS2000坐标系，根据广州市的具体情况，考虑原有广州坐标海量数据资料有效利用原则，广州市建立了以CGCS2000椭球为支撑的广州2000坐标系。广州2000坐标系建立过程中，需要考虑不同坐标系的椭球参数和投影参数，需要分析这些因素对坐标变换关系的影响，建立基于不同参考椭球参数的坐标系转换方法，指导各种坐标系转换及广州2000坐标系的建立。

1 不同椭球和投影参数对高斯投影坐标的影响分析

参考椭球形状和大小的差异体现在长半径a和扁率f的不同，高斯投影参数主要是中央子午线L0、投影面高程和投影坐标偏差常数(X0，Y0)。若采用北方向夹角α、尺度比m和平移常数(x0，y0)4个参数进行两个不同参考椭球的高斯投影坐标转换，其转换模型比较简单，但要求两种坐标是线性关系。如果两高斯平面坐标之间的关系是非线性的，直接采用四参数模型进行坐标转换精度很差，而精准转换则其转换模型比较复杂。因此，在分析不同椭球和几何参数对高斯投影坐标的影响基础上，提出削弱非线性影响因素，建立精准且简单的坐标转换模型和流程。

高斯投影坐标的正算公式为:

(1)

(2)

(3)

投影的长度比：

(4)

根据式(1)～式(3)，不难发现当椭球半径为a，增大δa时，投影坐标变为：

(5)

这说明椭球长半径变化对高斯投影坐标的影响是线性的。尽管椭球扁率对投影坐标的影响是非线性的，但不同椭球的扁率相差甚小，其非线性部分的影响可忽略不计。顺便指出，两个坐标系定向参数的影响也相差甚小，可以忽略不计。其定位参数不同或投影面高程不同时，其影响特性也是线性的，因为可以通过膨胀椭球长半径a，使两个椭球面在区域范围内一致，因此其影响与式(5)相同，只要将式中的δa改为两者的投影面高程之差。

在式(3)中投影点的子午线收敛角是非线性变化的，如果两个点的经线分别为L和L+ ΔL(ΔL为经差)，则略去最后一项后由式(3)可得两者的收敛角之差为

ΔL(3l2+3l·ΔL+ΔL2)(1+3η2+2η4)+….

(6)

显然，两者的子午线收敛角差值随ΔL增大而变大，只有当ΔL很小时，才能忽略其影响，采用一个旋转参数α来实现两个高斯投影坐标系的转换。

同样将式(1)第二式的首项y=NcosBl代入式(4)，当两个点的经线相差ΔL时，由式(4)得两者的尺度比之差为

(7)

显然，尺度比之差也随ΔL增大而变大，当ΔL很小时，才能忽略其影响，才能用一个尺度比参数来进行两个高斯投影坐标系的转换。

上述讨论的结果，对于同一点，在两个中央子午线(L0及L0+ΔL)的高斯投影情况同样成立。

2 不同椭球和投影参数的高斯投影坐标的变换方法

在两平面坐标系的四参数模型中，其参数为北方向夹角α、长度尺度比m和平移常数(x0，y0)，通过两个坐标系的公共点坐标成果计算转换参数，按式(8)进行坐标转换。

(8)

式中：x0，y0为平移参数；α为旋转参数；m为长度尺度比参数。

坐标转换的真谛在于使α=0、m=1时，通过加适当的平移常数使两坐标值达到一致。

高斯投影坐标系参数除投影的参考椭球体外，还有投影的中央子午线、投影面高度和加常数，中央子午线与投影后的坐标系的北方向密切相关，投影的高程面高低则与坐标系的尺度比密切相关。

对于经差ΔL较大的不同中央子午线的高斯投影坐标系，直接采用四参数模型进行坐标转换，由于子午线收敛角及高斯投影长度投影变形的特性，很难得出较为满意的坐标转换精度。

根据对不同椭球和投影参数对高斯投影坐标的影响分析结论，对于不同参考椭球体(如克拉索夫斯基椭球体、CGCS2000椭球)的高斯投影坐标，当投影的中央子午线经差ΔL较小时，子午线收敛角差值和尺度比差值较小，可以忽略其影响，能用一个尺度比参数和一个旋转参数来表示两个高斯投影坐标系的转换关系，此时采用四参数模型进行坐标转换，可得出较为满意的坐标转换精度，这在广州坐标与广州2000坐标的转换及广州2000坐标系建立中得到较好的应用。

3 应用实践

3.1 广州坐标与2000国家大地坐标的转换实践

在广州市城市规划和建设中一直使用广州坐标系， 60多年来，积累了海量的广州坐标系数据资料，广州坐标系是基于北京54参考椭球的高斯正形投影的独立坐标系，投影中央子午线为广州白云山摩星岭所在经线(E113°17′)，投影面为广州平均高程。

广州坐标转换到2000国家大地坐标系的投影坐标(CGCS2000椭球、38°带(E114°))，直接采用四参数模型进行坐标转换，其转换精度很差(1 m左右)。若先将广州坐标进行换带计算处理，转换到中央子午线(E114°)的投影坐标，由于两坐标系投影的中央子午线经差ΔL=0，此时再采用四参数模型对换带投影后的坐标和2000国家大地坐标进行转换，可得出较为满意的坐标转换精度。

流程：广州坐标(X1，Y1，E113°17′、克拉索夫斯基椭球体)→高斯坐标反算(B，L)→高斯坐标正算(X2，Y2，E114°、克拉索夫斯基椭球体)→四参数模型转换→2000国家大地投影坐标(X3，Y3，E114°、CGCS2000椭球)。

按上述流程方法，以156个高等级控制点坐标求出四参数模型参数编制转换程序，对另外的98个高等级控制点进行转换检核，转换精度较好，见表1。

表1 转换精度统计表 m

3.2 广州2000坐标系建立应用

不同椭球和投影参数的高斯投影坐标的变换方法及原理，在广州2000坐标系建立中得到较好应用。广州市区域的经度范围是E112°57′～ 114°03′，使用2000国家大地坐标系标准投影带高斯坐标(3°带投影第38°带投影坐标)，有超过1/2的广州市区域处于长度投影变形超过1/40 000范围，为此，需要建立2000国家大地坐标系的城市独立坐标系，即广州2000坐标系。

综上分析，对于不同参考椭球体的高斯投影坐标，当投影的中央子午线经差ΔL较小时，采用四参数模型进行两个坐标转换，坐标转换精度较好。根据坐标转换的逆过程，在广州2000坐标与广州坐标一致的前提下确定广州2000坐标系参数(中央经线L0、投影面高程H和坐标加常数(X0，Y0))，此时两坐标系北方向夹角α=0、长度尺度比m=1，建立流程如图1所示。

图1 广州2000坐标系建立流程

在广州市坐标系整合统一中，已确定了广州市似大地水准面精化高精度控制网(156点)和广州市GPS首级(二等)平面测量控制网(98点)的CGCS2000大地坐标以及广州坐标。按照广州2000坐标系的建立原则，在广州坐标值和广州2000坐标值相等的条件下(旋转角α=0、尺度比m=1、+X0、+Y0)，通过156个控制点坐标值反演求出广州2000坐标系参数：投影中央子午线L=113°17′**″(与广州坐标系中央子午线的经差约数s)、投影面大地高H=-10.** m、平移参数为X0=-252 9615.*** m,Y0=41 123. **** m。

根据此参数，对控制点的CGCS2000大地坐标在2000椭球体上进行高斯投影计算，得到广州2000坐标。

156个格网点广州2000坐标与广州坐标差异比较(内符合精度)如表2所示。

表2 内符合精度统计表 m

98个格网点广州2000坐标与广州坐标差异比较(内符合精度)如表3所示。

表3 内符合精度统计表 m

根据上述方法确定的广州2000坐标系，其坐标值在广州行政区域范围内与广州坐标较差均在0.05 m以内，在±0.05 m精度下，广州2000坐标与广州坐标可等同使用。

4 结束语

本文分析了不同椭球和投影参数对高斯投影坐标的影响，对不同参考椭球的高斯投影坐标精准衔接技术进行探讨，提出了不同椭球和投影参数的高斯投影坐标的转换方法，并运用于多个历史时期空间数据转换和广州2000坐标系的建立实践中，具有极高使用价值。本文成果应用过程中，得到了以下结论：

1)对于基于不同参考椭球体(如克拉索夫斯基椭球体、2000国家参数椭球体)的高斯投影平面坐标，在投影的中央子午线偏差不大的前提下，通过四参数模型进行坐标转换，可得到较好的转换精度。

2)通过适当的投影面投影调整可使尺度因子m=1、通过适当微调投影子午线可以旋转角α=0，再通过加适当的平移参数可使在不同参考椭球体高斯投影的两套坐标值达到一致。就广州2000坐标系建立的实践情况来看，建立的广州2000坐标系与广州坐标系符合性较好，这对新建坐标系统坐标与旧有坐标系坐标精准衔接，促进CGCS2000大地坐标系在大城市中应用有较好的示范作用。