基于子结构耦合法的机床主轴-刀具系统频响函数研究*

余 震，赵昊坤，李 颖

(武汉科技大学 a.冶金装备及其控制教育部重点实验室；b.机械传动与制造工程湖北省重点实验室，武汉 430081)

0 引言

近年来，随着高速加工技术的应用越来越广泛，为了提高加工效率而需要增大主轴转速、切削深度等工艺参数，这样在加工过程中，由于非周期性外力作用而激起加工系统剧烈振动的切削颤振，严重制约了高速加工技术的发展[1]。

目前确定无颤振加工条件的一个有效的方法是通过绘制稳定性lobe图来选取合理的工艺参数，Y Altintas等[2]提出了一种解析的方法来绘制铣削过程当中的稳定性lobe图，但绘制稳定性lobe图需要获取机床系统刀尖点的频率响应函数。通常通过实验的方法(力锤模态测试)可以获得主轴-刀具系统刀尖点的频响函数[3-5]。但是在实际应用中，由于需要频繁地更换刀具和刀柄，需要重复测量系统的频响函数，因此在本研究中，为了克服重复试验的不足，而采用响应耦合法(RCSA)预测主轴-刀具系统刀尖点的频率响应函数，利用实验以及反向RCSA方法获得主轴-刀柄基座的频响函数，并用Timoshenko梁理论计算外伸刀柄和刀具的频响函数，并进行子结构耦合得到整个系统刀尖点的频响函数。

1 机床主轴-刀具系统动力学模型构建

主轴-刀具系统刀尖点的动力学特性可以利用刀尖点的频率响应函数来描述[4-5]。利用RCSA方法[6]可以将主轴-刀具系统刀尖点频率响应函数用各个子结构的频率响应函数以及结合面的参数来表示。本研究中将该主轴-刀具系统划分成3个子结构，主轴-刀柄基座、外伸刀柄和刀具，如图1所示。利用Timoshenko梁理论来计算刀具、外伸刀柄的频响函数。将刀柄装夹在主轴上，实测该主轴-刀柄系统的频响函数，并利用反向RCSA方法得到主轴-刀柄基座的频响函数，利用最小二乘拟合以及改进的粒子群算法识别刀柄和刀具结合面的动力学参数，最后将各个子结构进行刚性或柔性耦合，从而得到预测的主轴-刀具系统刀尖点频响函数。

图1 主轴-刀具系统

1.1 刀柄和刀具动力学模型构建

刀柄和刀具的动力学模型采用忽略了转动惯量和剪切变形的欧拉梁或Timoshenko梁模型构建[7]：刀具和外伸刀柄被分割成横截面几何形状不同的梁单元，利用Timoshenko梁理论对具有相同几何形状的单元进行建模。由于立铣刀的螺旋槽部分各截面的惯性矩的一致性，故将刀具划分成螺旋槽部分以及圆柱部分两个子结构，刀柄的锥形部分也划分为两个子结构(子结构划分如图2所示)。

(a) 刀具

(b) 外伸刀柄图2 刀具及外伸刀柄子结构划分

在图3的为x-y平面内的Timoshenko梁模型中，x-y平面内自由状态下的Timoshenko梁单元的动力学方程[8]可以表示为：

(1)

(2)

式中，ρ—密度，E—弹性模量，G—剪切模量，A—横截面面积，I—横截面惯性矩，y—x轴横位移，φ—x轴上任意一截面的角位移，k—剪切系数，刀柄的剪切系数k[7]表示为：

(3)

式中，v为材料的泊松比，m为横截面内外径之比(m=dinner/douter)，对于刀具而言，横截面的内径dinner=0，剪切系数可以表达为：

(4)

图3 x-y平面内的Timoshenko梁模型

(5)

式中，yiφi分别为点i处的横向位移及角位移，fjmj分别为施加在点j处的力和力矩，Hij、Lij、Nij、Pij分别为位移/力(力矩)、角位移/力(力矩)频率响应函数。假设刀具(外伸刀柄)的阻尼为结构阻尼，且损耗因子为γ，利用上述的Timoshenko梁动力学方程可以求解梁单元在点1、2处(见图4)的频率响应函数[7]Hij、Lij、Nij、Pij(i=1,2且j=1,2)为：

(6)

(7)

(8)

(9)

因梁单元处于两端自由边界条件，此时存在两个刚体模态(当r=0时，ω0=0)，质量标准化的两个刚体模态的形函数可以表达如下：

(10)

(11)

对于刀具螺旋槽部分的惯性矩计算，需要先计算出区域1的惯性矩(如图4所示)，其他区域的惯性矩可以通过将区域1的惯性矩进行转换获得，然后将所有区域的惯性矩进行叠加，得到整个横截面的惯性矩。

图4 4齿螺旋立铣刀横截面

区域1的惯性矩[9]可以通过计算等效半径Req来获得，Req与扇形区域的半径r、扇形的中心位置a、θ有关，其表达式为：

(12)

当获得等效半径Req后，区域1关于x轴、y轴的惯性矩可以分别表达为：

(13)

(14)

式中，0<ρ≤Req(θ)，0<θ≤π/2，fd为螺旋槽的深度。则整个横截面对x轴和y轴的惯性矩表示为：

Ix=Iy=2(Ixx+Iyy)

(15)

每个刀具(外伸刀柄)单元的频率响应函数矩阵可表示为：

(16)

其中，

(17)

当求得每个刀具(外伸刀柄)单元的频响函数矩阵后，利用RCSA方法将每个单元的频响函数矩阵进行刚性耦合，得到整个刀具和刀柄的频响函数矩阵。如图5所示，单元A和单元B刚性耦合在一起，形成单元C，重复该过程直到获得整个刀具(外伸刀柄)的频率响应函数矩阵。

图5 单元A和B的耦合过程

单元A和单元B的频率响应函数矩阵可以表达为：

(18)

利用相容性条件和连续性条件，单元C的频率响应函数矩阵[3,6]可以表达为：

(19)

其中，

(20)

(21)

(22)

(23)

1.2 主轴-刀柄基座动力学模型构建

如图6所示，主轴-刀柄基座和外伸刀柄看成刚性耦合，对于刀柄而言，只需要利用如前所述方法，把刀柄外伸部分的频响函数矩阵计算出来，再与主轴-刀柄基座进行刚性耦合就可以获得整个主轴-刀柄系统的频响函数矩阵。利用反向RCSA方法[10]，主轴-刀柄基座的频响函数矩阵可以表达为：

(24)

式中，[S55]为主轴/刀柄基座系统频响函数矩阵，[SH33]为实验测得的主轴-刀柄系统的频响函数矩阵，[H33]、[H34]、[H43]、[H44]为外伸刀柄的频响函数矩阵。

图6 主轴-刀柄基座与外伸刀柄刚性耦合

2 主轴-刀具系统动力学模型的实验验证

2.1 实验系统建立

利用力锤测试[11]的方法测量主轴-刀具系统刀尖点的位移/力频响，并采用Matlab对前面的主轴-刀具系统刀尖点位移/力频响函数模型进行仿真分析，并与测量的结果进行对比。

本实验原理示意简图如图7所示。选取4齿平底硬质合金螺旋立铣刀以及HSK A 63 SPD刀柄为研究对象。实验设备由三向加速度传感器、力锤以及NI PXI-1042Q数据采集前端组成(如图9所示)。实验采集的数据经数据采集前端进行处理，并通过MODALVIEW软件获得频响函数数据。

图7 实验原理示意图

图8 刀柄系统测点

(a) 试验数据采集前端 (b) 力锤和加速度计

(c) 试验刀柄安装图9 实验系统

因刀具材料牌号未知，在实验过程中，测量自由状态下刀具的频响函数，采用最小二乘法将计算得到的刀具频响函数曲线与测量曲线进行拟合，识别出刀具的材料参数。将内径为16mm的HSK A 63 SPD刀柄装夹在主轴上，实验测量主轴-刀柄系统的位移/力频响函数，由式(24)计算出主轴-刀柄基座的频响函数矩阵，再将直径为12mm的立铣刀连同内径为12mm的HSK A 63 SPD刀柄装夹在主轴上，测量系统刀尖点的位移/力频响函数，与采用数学模型计算出系统刀尖点的频响函数值进行对比。

2.2 刀具频响函数实测值与预测值实验验证

按图9所示的方式进行连线，将加速度计贴在刀尖点，利用力锤激励刀尖点的另一侧，通过MODALVIEW软件采集得到处于自由状态下刀具刀尖点的位移/力频响函数数据曲线，如图10所示。由式(3)～式(21)，编制Matlab程序计算自由状态下刀具刀尖点的位移/力频响函数对数幅值，刀具尺寸参数如表1所示，并将MODALVIEW软件中测量的频响函数对数幅值数据曲线导入Matlab，并与理论计算值进行最小二乘曲线拟合，构建优化目标函数：

(25)

式中，ω=ω1,…,ωn为选取的频率点，T11为计算的刀尖点位移/力频响函数对数幅值，e_T11为实测的刀尖点位移/力频响函数对数幅值。

求解该优化目标最优值，得到刀具的材料参数为：E=460GPa，ν=0.3，γ=0.02。

自由状态下刀具刀尖点的位移/力频响函数对数幅值的实测值与预测值如图10所示，从图中可以看出，实测的频响函数曲线与预测的曲线较为吻合。

表1 刀具的尺寸参数(单位mm)

图10 刀具频响函数实测值与预测值

2.3 主轴-刀具系统刀尖点频响函数实测值与预测值实验验证

将内径为16mm的HSK A 63 SPD刀柄装夹在主轴上，按图9进行连线，将加速度计贴在响应测点3处(见图6)，用力锤分别锤击测点，其中测点间距S=20mm，由MODALVIEW软件可分别获得3个位移/力频响函数H33 ，H33b，H33c，利用式(19)～式(24)计算得到整个主轴-刀柄系统在自由端的频响函数矩阵，根据16mm HSK A 63 SPD刀柄外伸刀柄的尺寸参数由式(3)～式(21)计算出外伸刀柄的频响函数矩阵，如表2所示，利用反向RCSA方法由式(25)计算得到主轴-刀柄基座的频响函数矩阵。

表2 刀柄外伸部分尺寸(单位mm)

然后将直径为12mm的立铣刀装夹在内径为12mm的HSK A 63 SPD刀柄上，并装夹进主轴。实测主轴-刀具系统刀尖点的位移/力频响函数，如图11所示。根据式(3)～式(21)计算出刀具(不包含装夹长度部分)以及外伸刀柄(12mm内径)的频响函数矩阵，刀具以及外伸刀柄的尺寸参数如表3所示。分别由式(24)和式(25)将识别得到的主轴-刀柄基座频响函数矩阵与计算得到的外伸刀柄(12mm内径)以及刀具的频响函数矩阵进行刚性耦合和柔性耦合，得到主轴-刀具系统刀尖点频响函数矩阵的预测值。将实测与预测的主轴-刀具系统刀尖点位移/力频响函数幅值曲线进行最小二乘拟合，识别刀柄和刀具结合面之间的参数如表3所示。

图11 实测主轴-刀具系统刀尖点位移/力频响函数

表3 刀柄和刀具结合面参数

当得到新的结合面参数后，由式(28)即可求得预测的主轴-刀具系统刀尖点的位移/力频响函数。实测和预测的主轴-刀具系统刀尖点位移/力频响函数幅值如图12所示，从图中可以看出，实际测量的频响函数曲线与预测的曲线总体来说较为吻合，初步验证了本研究中所建模型的有效性。

图12 主轴-刀具系统刀尖点频响函数实测值与预测值

3 总结

本研究通过利用Timoshenko梁理论计算刀具、外伸刀柄的频响函数、然后利用RCSA方法主轴-刀具系统刀尖点的频响函数进行预测，与采用不同内径刀具所得的主轴-刀具系统的实验测得的主轴-刀具系统刀尖点的位移/力频响函数进行对比研究，研究结果表明，实测的频响函数曲线与预测的曲线总体来说较为吻合，验证了本研究中基于子结构偶合法建立机床主轴-刀具系统频响函数模型的有效性，为数控加工过程稳定性的理论研究提供研究依据。