常用逻辑用语错解“串烧”

■江苏省盐城市高级实验中学

我们知道,常用逻辑用语是一种数学语言,它与我们平时的生活实际用词之间存在一定的联系,但也有很大的区别,如果我们忽视这些区别,就会在学习常用逻辑用语时犯错。那么在用常用逻辑用语解题时,哪些误区我们必须要加以提防呢?

误区一:书写四种命题时分不清条件与结论

例1写出下列命题的逆命题:

(1)对顶角相等;

剖析:在(1)中,错解没有分清命题的条件与结论,只是把前后两个词语交换了位置。应该把命题“对顶角相等”先改写成“如果两个角是对顶角,那么它们相等”,然后再写逆命题。在(2)中,“ab＞0”是大前提,在书写其他三种命题时,不需作任何改写,依然在原来的位置。

正解:(1)若两个角相等,则它们是对顶角。

友情提示:在书写四种命题时,经常会碰到原命题是一句话的情况,书写前必须先分清条件和结论。存在大前提的命题,不需作任何改写,切不可把它作为条件或结论。

误区二:混淆“否命题”与“命题的否定”

例2写出命题“正方形是矩形”的否命题。

错解:否命题为:正方形不是矩形。

剖析:错解求的是原命题的“否定”,只否定了命题的结论。而题目要求写的是原命题的否命题,既要否定其条件,又要否定其结论。

正解:否命题为:如果一个四边形不是正方形,那么它不是矩形。

友情提示:命题的否命题与命题的否定是改写命题的两种不同形式,不可混为一谈。若p表示命题,￢p是命题的否定,命题的否定只否定结论不否定条件。若原命题是“若p,则q”,那么命题的否定为“若p,则￢q”;而否命题为“若￢p,则￢q”,既否定结论,又否定条件。

误区三:忽视对关键词的否定

例3命题“正方形与菱形都是平行四边形”的否定是 。

错解:原命题的否定是:正方形与菱形都不是平行四边形。

剖析:原命题的关键词为“都是”,这个词的否定不是“都不是”,而是“不都是”。

正解:

其否定是:正方形与菱形不都是平行四边形或者在正方形与菱形中,至少有一个不是平行四边形。

友情提示:在改写命题的否定和命题的否命题时,必须要注意一些关键词语的否定。如“任意的”的否定是“存在一个”,“有些”的否定是“全部”,“一定”的否定是“不一定”,“至多有1个”的否定是“至少有2个”,等等。

误区四:在写否命题或命题的否定时忽视对“或”与“且”的否定

例4写出命题“若(x-2)(x+3)=0,则x=2或x=-3”的否命题。

错解:否命题为“若(x-2)(x+3)≠0,则x≠2或x≠-3”。

剖析:上面解法对条件与结论进行否定时,忽视了对关键词“或”的否定。

正解:否命题为“(x-2)(x+3)≠0,则x≠2且x≠-3”。

友情提示:在对含有逻辑联结词“或”与“且”的命题进行否定时,一定要注意 “或”的否定为“且”,“且”的否定为“或”,即它们的否定是相互的。

误区五:忽视对量词的否定

例5命题p:对任意实数a,方程x2+ax-1=0有解,则￢p为 。

错解:￢p:对任意实数a,方程x2+ax-1=0无解。

剖析:命题的否定虽然只需否定结论,但对于全称命题与特称命题时,对量词也要否定。“任意(∀)”的否定为“存在(∃)”,而“存在(∃)”的否定为“任意(∀)”。

正解:￢p:存在实数a0,方程x2+a0x-1=0无解。

友情提示:对全称命题与特称命题进行否定,一般需对原命题改写两处:一是对全称量词与特称量词进行否定;二是对命题的结论进行否定。