一类分数阶微分方程边值问题正解的存在性

冯 立 杰

(天津大学数学学院，天津 300350)

0 引言

近年来，分数阶微分方程受到了广泛关注.与整数阶微分方程相比，分数阶微分方程应用范围更广，其在物理学、生物学、分析化学等领域发挥了重要的作用.[1-2]许多学者对分数阶微分方程进行了深入的研究，取得了丰硕的成果.[3-7]

文献[7]运用单调迭代法，研究了分数阶微分方程边值问题

本文考虑非线性分数阶微分方程边值问题

(1)

1 预备知识

定义1[1]函数y：(0，+∞)→R的阶数为α>0的Riemann-Liouville分数阶积分定义为

这里等式右边是在(0，+∞)上逐点定义的.

定义2[1]函数y：(0，+∞)→R的阶数为α>0的Riemann-Liouville分数阶导数定义为

其中：n=[α]+1，[α]表示α的整数部分；右边在(0，+∞)上是逐点定义的.

引理1[1]假设y∈C(0，1)∩L1(0，1)且α>0，则

其中ci∈R，i=1，2，…，n，n如定义2所述.

引理2[1]假设y∈L1([0，1]，R)，且p>q>0，则对任意的t∈[0，1]，有：

引理3给定y∈C[0，1]，n-1<α≤n，β>0，则分数阶微分方程

(2)

(3)

的唯一解为

其中

(4)

这里d=[Γ(α+β)-Γ(α-n+2)ρηα+β-1]-1>0.

证明根据引理1可知方程(2)的一般解为

因此

(5)

(6)

引理4函数Gk(t，s)有以下性质：

(ⅰ)Gk(t，s)是连续函数，并且满足Gk(t，s)≥0，t，s∈[0，1]，k=0，1，2，…，n-3；

(ⅱ) 对任意的t，s∈[0，1]，有tα-k-1Gk(1，s)≤Gk(t，s)≤Gk(1，s)，k=0，1，2，…，n-3.

证明(ⅰ) 由等式(6)可知Gk(t，s)为连续的.

当0≤s≤min{t，η}≤1时，

当0≤t≤s≤η≤1时，

当0<η≤s≤t≤1时，

当0

(7)

另外，显然有Gk(t，s)≥tα-k-1Gk(1，s).结论证毕.

引理5[8](Schauder不动点定理) 设U是Banach空间E中的一个非空有界闭凸子集，T：U→U是全连续算子，则T在U中至少存在一个不动点.

设E是一个Banach空间，P⊂E是一个锥.假设α，β：E→R+是两个连续的凸泛函，并且满足：对于u∈E，λ∈R有α(λu)=|λ|α(u)，β(λu)=|λ|β(u)；当u∈E时，‖u‖≤kmax{α(u)，β(u)}；当u1，u2∈P，u1≤u2时，α(u1)≤α(u2)，其中k是一个常数.

引理6[9]令r2>r1>0，L>0都是常数，

Ωi={u∈E|α(u)

是E上的两个有界开集.记Di={u∈E|α(u)=ri}.假设T：P→P是全连续算子并且满足：

(ⅰ)α(Tu)r2，u∈D2∩P.

(ⅱ)β(Tu)

2 主要结果

定义E=Cn-3[0，1]，定义范数

则(E，‖·‖)是一个Banach空间.

定义如下形式的锥：

P={u∈E|u(k)(t)≥0，u(k)(t)≥tα-k-1‖u(k)‖0，t∈[0，1]，k=0，1，2，…，n-3；

u(i)(0)=0，i=0，1，2，…，n-4}.

在P上定义算子T为

(8)

则算子T的不动点即为边值问题(1)的解.

证明首先证明算子T：P→P.根据引理4，有(Tu)(k)(t)≥0，∀t∈[0，1]，k=0，1，2，…，n-3.另外，

且

因此算子T：P→P.

下面证明算子T是全连续的.由于函数G，f都是连续的，所以算子T是连续的.设Ω为E中的任意有界集，则存在常数N>0，对∀u∈Ω，有‖u‖≤N.记

对∀u∈Ω，由引理4可知

所以，T(Ω)为一致有界的.

另一方面，∀t1，t2∈[0，1]，不妨设t1

当t1→t2时，上述不等式趋于0.因此T(Ω)为等度连续的.

则边值问题(1)至少存在一个正解.

证明定义有界集Br={u∈P|‖u‖≤r}，其中：

下证T：Br→Br.如果u∈Br，有

因此

又根据引理7知T：Br→Br是全连续的，从而由Schauder不动点定理可得边值问题(1)至少存在一个正解.

定义泛函

则有：

α(λu)=|λ|α(u)，β(λu)=|λ|β(u)，λ∈R；

当u1，u2∈P，u1≤u2时，α(u1)≤α(u2).

记

其中0<γ<1.

定理2假设L>r2>γα-1r2>r1>0，其中0<γ<1为常数.f(t，u0，u1，…，un-3)满足以下条件：

(H1)f(t，u0，u1，…，un-3)

(H2)f(t，u0，u1，…，un-3)≥Dr2，(t，u0，…，uk，…，un-3)∈[γ，1]×[γα-1r2，r2]×…×[γα-k-1r2，L]×…×[γα-n+2r2，L]；

(H3)f(t，u0，u1，…，un-3)

则边值问题(1)至少有一个正解u(t)满足

r1<α(u)

证明对f做如下修改：

依次进行下去有

考虑边值问题

(9)

定义

Ω1={u∈E|α(u)

与

Ω2={u∈E|α(u)

为E中的两个有界开集.记

D1={u∈E|α(u)=r1}，

D2={u∈E|α(u)=r2}.

分三步对定理进行证明.

步骤一：对u∈D1∩P有α(u)=r1，0≤u(t)≤r1.

由(H1)，

对u∈D2∩P，有α(u)=r2，‖u‖0=r2，0≤u(t)≤r2，t∈[0，1].另u(i)(0)=0，i=0，1，2，…，n-4.

由

可得

‖u(i)‖0≤‖u(i+1)‖0，‖u(k)‖0≥‖u‖0=r2，k=1，2，…，n-3.

因此

u(k)(t)≥γα-k-1‖u(k)‖0≥γα-k-1r2，t∈[γ，1]，k=0，1，2，…，n-3.

其中0<γ<1.由(H2)，

步骤二：根据(H3)，对于u∈P有

步骤三：由α(u)的定义，存在一个非负函数p∈{(Ω2∩P)}使得α(p)≠0，并且对所有的u∈P和λ≥0有α(u+λp)≥α(u).例如，令

r1<α(u)

即

从而

0≤u(t)

fn-3(t，u(t)，u′(t)，…，u(n-3)(t))=f(t，u(t)，u′(t)，…，u(n-3)(t)).

则u也为边值问题(1)的解.

3 举例

例1考虑边值问题

(10)

例2考虑边值问题

(11)

C=1.604 0，D=43.043 5，E=0.187 9.

从而：

(ⅲ)f(t，u0，u1，u2)≤2.56×1011

则由定理2可知边值问题(11)至少存在一个正解u(t)满足：