Iyengar型不等式的加权推广

曾志红，时统业

（1.广东第二师范学院学报编辑部，广东广州510303；2.海军指挥学院，江苏南京211800）

1 引言和引理

1938年，Iyengar[1]证明了下面不等式，在一阶导数有界的情况下，给出由Hermite-Hadamard不等式的右边生成的差值的估计。

Iyengar不等式[2]671：设f是[a，b]上的可微函数，且对任意x∈[a，b]有，则

Hayashi不等式[2]684-685：设 f在[a，b]上递减，g在[a，b]上勒贝格可积且 0≤g（x）≤M，x∈[a，b]，则

1996年，Agarwal和Dragomir通过在Hayashi不等式中取 （fx）和g（x）分别为a-x和f（'x）-m，给出在条件m≤f（'x）≤M时的Iyengar不等式，推广了在条件时的Iyengar不等式。

定理[3]设f是[a，b]上的可微函数，且对任意x∈[a，b]有m≤f（'x）≤M，m

文献[4]利用Hayashi不等式，在弱条件

情况下证明了不等式（1）。文献[5]在相同条件下，给出式（1）的另证。文献[6]给出不等式（1）的加权推广。刘证利用Hayashi不等式也将不等式（1）推广到加权形式[7]。与Iyengar型不等式有关的结果还可参见文献[8-12]。

本文将在弱条件下给出不等式（1）简单的加权推广，得到不同于文献[6-7]的结果。证明本文主要结果所用方法在文献[5，13]中都有体现，即先建立与区间任意点有关的不等式，然后决定函数的最值。文献[14]中定理7的证明和文献[15]中定理1的证明也都用这种方法。

2 主要结果

定理1 设f是[a，b]上的可积函数，存在常数M＞0，使得

g是[a，b]上正的可积函数，则有

其中c0满足，

证明 由已知条件得

将式（3）和式（4）乘以 g（x），然后分别在[a，c]和[c，b]上对 x积分，相加得

当c∈[a，c1]时，φ'（c）≥0；当c∈[c1，b]时，φ'（c）≤0，故φ（c）在c1处取得最大值，于是有

综合上面结果，则式（2）的左边部分得证。类似可证式（2）的右边部分。

注1在定理1中，若取g（x）≡1，则得到Iyengar不等式。

定理 2 设 f是[a，b]上的可积函数，存在常数 M＞0，m＞0，使得

g是[a，b]上正的可积函数，则有

其中c0同定理1，

证明 仿照文献[4]中定理2的方法即可证明。

注2 在定理2中，若取g（x）≡1，则得到不等式（1）。

推论1设f条件同定理2，g是[a，b]上正的可积函数，且关于对称，则有

其中d'同定理2。

由式（5）则推论得证。

推论2设f条件同定理2，则有

证明 在推论 1 中取 g（x）=（x-a）α-1+（b-x）α-1经简单计算可得证。

下面的推论改进了文献[16]给出的由Fejér右边不等式生成的差值的估计。

推论3 设f是[a，b]上的可微的凸函数，g是[a，b]上正的可积函数，且关于对称，则有

其中d'同定理2。

证明 因f是[a，b]上的可微的凸函数，故有

在推论1中，取M=f'（b），m=f'（a），则推论3得证。

定理3设f是[a，b]上的一阶可微函数，存在常数M＞0，使得

也即

其中

证明 由已知条件得

将式（7）和式（8）乘以 g（x），然后分别在[a，c]和[c，b]上对 x积分，相加得

当c∈[a，c3]时，ψ'（c）≥0；当c∈[c3，b]时，ψ'（c）≤0，故ψ（c）在c3处取得最大值，于是有

综合上面结果，则式（6）的左边部分得证。类似可证式（6）的右边部分。

利用定理3则推论4得证。

推论5设f的条件同定理3，α＞0，则有

证明 在定理 3 中取 g（x）=（x-a）α-1+（b-x）α-1经简单计算可得证。

定理 4 设 f是[a，b]上的一阶可微函数，存在常数 M＞0，m＞0，使得

其中

证明 仿照文献[5]中定理4的方法即可证明。