利用“全等变换

饶建华

《义务教育数学课程标准》指出，几何变换或者图形的运动是几何也是整个数学中很重要的内容，它既是学习的对象，也是认识数学的思想和方法。在解题中通过将图形平移、旋转、对称等活动，使图形动起来，有助于发现图形的几何性质，探究出解题思路，可能使很多几何问题一下子就豁然开朗，使题目能够顺利求解。下面我们就来看看利用“全等变换——旋转”探究解题思路几个例子：

例1.如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为BC中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE延长线于F，连接CF。

（1）求证：AD⊥CF

（2）连接AF，试判断△ACF形状，并说明理由

分析：本题的图形较为复杂，存在的三角形较多，主要考查了等腰三角形的性質的综合应用，三角形全等的判定等知识。要能够迅速找到解题思路关键是能从这个复杂的背景图形中运用“全等变换——旋转”的思想观察出△ACD经过旋转可得到△CBF，从而证明△ACD≌△CBF，其余的问题即可迎刃而解。（1）欲求证AD⊥CF，先证明∠CAG+∠ACG=90°，需证明∠CAG=∠BCF，利用三角形全等，易证。（2）要判断△ACF的形状，看其边有无关系。根据（1）的推导，易证CF=AF，从而判断其形状。具体解答如下（1）：

（2）△ACF是等腰三角形；理由略。

近几年来，动点问题常常成为期末考试的压轴题之一。问题常常集几何、代数知识于一体，有较强的综合性。要求学生要有扎实的基础知识，较好的阅读理解能力以及较强的数学建模能力。

例2.（2014-2015佛山市禅城区八年级数学第二学期期末教学质量调查问卷第25题）

如图，在Rt△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=90°，O为BC的中点，

（1）写出点O到△ABC的三个顶点A、B、C的距离的关系（不要求证明）；并计算OA的长度；

（2）如果点M、N分别在线段AB、AC上移动，在移动过程中保持AN=BM，请判断△OMN的形状，并证明你的结论；

（3）在（2）的情况，设AN=BM=，请求出△OMN面积。

分析：本题以等腰三角的动点问题为背景，主要考查了等腰三角形的性质的综合应用，直角三角形的性质，三角形全等的判定等知识。本题的难点主要是第（2）问，能够迅速找到解题思路关键是运用“全等变换——旋转”的思想观察出△BMO绕点O经过旋转可得到△ANO，想到要证明△BMO≌△ANO，从而以静制动，顺利解决此题。

具体解答如下：（1）OA=OB=OC，

（2）△OMN为等腰直角三角形，理由如下：

∵AB=AC，∠BAC=90°，O为BC的中点，OA=

∴OA=OB=OC，∠AOB=90°∴∠CAO=∠BAO=∠B=∠C=45°

在△BMO与△ANO中

∵BM=AN∠MBO=∠NAOBO=AO∴△BMO≌△ANO∴ON=OM，∠NOA=∠MOB

∴∠MON=∠NOA+∠AOM=∠MOB+∠AOM=∠AOB=90°

∴△OMN为等腰直角三角形

（3）根据题意求出，即可求解出△OMN的面积。

例3.如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），△AOB为等边三角形，P是x轴上一个动点（不与原点O重合），以线段AP为一边在其右侧作等边三角形△APQ。

（1）求动点B的坐标；

（2）在点P的运动过程中，∠ABQ的大小是否发生改变？如不改变，求出其大小；如改变，请说明理由。

（3）求P点的坐标。是否存在点P，使得△OBQ是等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件P点坐标；若不存在，请说明理由。

（2015-2016佛山市禅城区八年级数学第二学期期末教学质量调查问卷第25题）

本题的解题思路关键同样是运用“全等变换——旋转”的思想观察出△ABQ绕点A经过旋转可得到△APO即可顺利解决此题。

总之，在探索几何解题的思路时，熟练掌握旋转变换思想有助于学生增强解题能力，开拓思路。从变换的角度来思考问题，可能使很多几何问题一下子就豁然开朗，因此，教师在教学中应给予足够的重视。

编辑 高 琼