数形结合

俞洁文

日常教学中很多问题被肤浅地一带而过，静下来思考往往会有意想不到的收获.人教版六下P91页练习十八第18题是一道星号题，“用一根长24厘米的铁丝围一个长方体（或正方体）框架.在这个长方体的表面糊一层纸，怎样围用纸最多？”.翻阅教师教学用书关于此题有如下分析：让学生通过尝试验证，发现长方体棱长总和一定的情况下，长、宽、高越接近，即越接近正方体，它的体积越大，表面积越大.当长、宽、高分别为2 cm，2 cm，2 cm，围成正方体时，表面积最大.教学建议：可让学生假设具体值并计算，比较，体会这一规律.

一、尝试列表比较，体会规律

分析题中条件，求出长方体的一组长、宽、高之和：24÷4=6（cm）.按照教师用书要求，假设具体值列表解决应该不是难事.

如上表，观察数据猜测得出结论，当长、宽、高分别为2 cm，2 cm，2 cm，围成正方体时，表面积最大.根据上述数据的某种属性，推理得出结论，至此，这个问题是圆满地解决了吗？伴随这个问题的深入研究会产生哪些有意义的思考？

二、化“立体”为“平面”数形结合

（一）化“立体”为“平面”

将长方体展开为6个长方形的面，6个面中相对的面相等，假设长、宽、高分别用字母a，b，h表示，只要确保三个面ab+ah+bh之和最大即可.知道长宽高的总和，怎样确保三个面之和最大？回到问题原点，已知长方形长与宽的和，长和宽分别是多少时面积最大？这是三年级讨论过的问题.

假設一长方形周长12厘米，长宽之和12÷2=6（厘米）如下表：

通过上表得出结论，长方形长与宽的和一定，当长和宽相等时，长方形面积最大.这一结论将在“解决三个面ab+ah+bh之和最大值问题”中奠定基石.

（二）数形结合显神通

将问题转化成“求三个面ab+ah+bh之和最大”，始终确保三个面中a与b相等形成正方形，然后调整h的大小，寻找最大表面积.

已知一组长、宽、高之和为6，确定h是1，则a与b的和是5，根据上述结论当a=b=2.5时，长方体的上、下面为正方形，面积最大，此时表面积为22.5.如①号图形所示.

以上，首先将长方体转化为展开的六个长方形平面，再将问题转化为探究相交于同一顶点的三个面大小.始终固定三个面中一个面为正方形，调整高度，通过数形结合得出了结论.即：长方体棱长总和一定的情况下，长、宽、高越接近，即越接近正方体，它的体积越大，表面积越大.

比起让学生列举长、宽、高具体数值，求出表面积加以比较，化“立体”为“平面”，围绕着某个需探讨的主题，通过数形结合对特例分析和解释，揭示一般性规律，从中得出一个普遍性的结论，数形结合充实和完善结论，在思维程度上做了一定的拓展，培养了学生的思维能力.

三、数形结合“调整逼近”，寻找最大表面积

给出几个具体的、特殊的数、式或图形，要求找出其中的变化规律，从而猜想出一般性的结论，解题的思路是特殊向一般的转化.除了上面的列表，化“立体”为“平面”，不计算能找到最大表面积吗？采用调整中的调整逼近会怎么样呢？

观察上表：通过调整，长宽高越来越接近，表面积越来越大.可以想象，继续调整下去，当长宽高相等时，不能再调整，此时表面积最大.结论：长方体的棱长总和一定，当长宽高相等时，围成的正方体的表面积最大.数形结合“调整逼近”将计算远远抛于身后，同样寻找最大表面积.

原本看似普通的问题，可以假设数值列表解决，长宽高三个数据均发生变化，比较重探究问题，可以转化为三个面，确定其中一个面为正方形，即长等于宽，调整高获得结论;可以调整逼近不计算解决问题.在这三个层次的活动中，紧紧抓住长宽高总和一定、抓住“长方形长与宽的和一定，当长和宽相等时，长方形面积最大”这两个核心要素.三种不同的思路反映不断提升的思维方式.

善于深入思考，挖掘普通问题的深刻内涵，让普通变得不普通，用心与孩子们一同学习小学数学总是会有美妙的享受.