巧用反比例函数中的12|k|求图形面积

孟祥玲

【摘要】反比例函数中的k的几何意义是历年中考的重要考点之一，它常与三角形、矩形、平行四边形等图形的面积结合，以选择题和填空题的形式来考查学生对这一知识点的掌握，需要引起同学们的重视.现在就以几个中考题为例向大家详细讲解，希望能帮助到同学们.

【关键词】反比例函数;12|k|;面积

一、推导反比例函数中的一个重要结论

如图1所示，已知反比例函数y=kx（k≠0）的图像经过点A，过A点作AB⊥x轴，垂足为B.则S△AOB=.

解∵点A在反比例函数y=kx（k≠0）的图像上，∴可设A（x，y），

∴S△AOB=12OB·AB=12|xy|=12|k|.

由此可以得到，过反比例函数y=kx（k≠0）的图像上任意一点向坐标轴作垂线，以这一点和垂足及坐标原点为顶点的直角三角形的面积等于12|k|，且保持不变.这是反比例函数的一个非常重要的性质，可以帮我们快速地解决与反比例函数相关的面积问题.

二、反比例函数中与面积相关的典型例题

例1反比例函数y=-3x（x<0）的图像，如图2所示，则矩形OAPB的面积是（）.

A.3B.-3C.32D.-32

解S矩形OAPB=2S△AOP=2×12|k|=|k|=|-3|=3.故A正确.

点评：在反比例函数y=kx（k≠0）的图像中任取一点，过这个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|.

例2如图3所示，双曲线y=-32x（x<0）经过ABCO的对角线交点D，已知边OC在y轴上，且AC⊥OC于点C，则OABC的面积是（）.

A.32

B.94

C.3D.6

解∵點D为ABCO的对角线交点，双曲线y=-32x（x<0）经过点D，AC⊥y轴，

∴S平行四边形ABCO=4S△COD=4×12|k|=4×12-32=3.故选C.

点评：由于平行四边形的两条对角线把图形分成了四个面积相等的三角形，所以S平行四边形ABCO=4S△COD，从而借助前面的重要结论解决问题.

例3如图4所示，点A是反比例函数y1=1x（x>0）图像上一点，过点A作x轴的平行线，交反比例函数y2=kx（x>0）的图像于点B，连接OA，OB，若△OAB的面积为2，则k的值为.

解延长BA，与y轴交于点C，

∵AB∥x轴，∴BC⊥y轴，

∵A是反比例函数y1=1x（x>0）图像上一点，B为反比例函数y2=kx（x>0）的图像上的点，

∴S△AOC=12，S△BOC=k2，

∵S△AOB=2，即k2-12=2，

解得k=5，故答案为5.

点评：本题是一道把反比例函数和三角形面积结合的题目，在解决时充分借助重要结论，把△OAB的面积与k值结合起来，从而求解问题.

例4如图5所示，直线y=mx与双曲线y=kx交于A，B两点，过点A作AM⊥x轴，垂足为点M，连接BM，若S△ABM=2，则k的值为（）.

A.-2B.2C.4D.-4

解∵直线y=mx与双曲线y=kx交于A，B两点，

∴点A与点B关于原点中心对称，

∴S△OAM=S△OBM，

而S△ABM=2，∴S△OAM=1，∴12|k|=1，

∵反比例函数图像在第二、四象限，

∴k<0，∴k=-2.故选A.

点评：本题考查了反比例函数y=kx（k≠0）的图像关于原点的中心对称性和系数k的几何意义：从反比例函数y=kx（k≠0）图像上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|.

通过以上例题，同学们应该可以感受到利用k值求图形的面积的题目比较灵活多变，但百变不离其宗，需要同学们在平时的学习中及时总结和发现规律，提高分析和解决问题的能力.