浅谈“反证法”在高中数学的应用

雷紫同

【摘要】反证法，是数学中诸多证明方法中的一种重要的证明方法.如今学生在运用反证法解题中，基础一般的学生受到了思维能力的局限，则表现出对其敬而远之.所以笔者列举出使用反证法证明的多种题型，希望学生读后能够正确的使用反证法，并对数学产生浓厚的兴趣.

【关键词】反证法;思维能力;多种题型

在高中數学解题中有多种证明的方法，我们把“反证法”称为间接证明法.由于新课程的改革，更加注重培养学生的思维能力.在高中数学教学中，笔者发现学生在解题过程中更倾向于顺向思维而非逆向思维.同时学生在初中对反证法的排斥，到了高中难度突然增加，从而导致反证法成为他们学习的难点.笔者建议如果正向思考更复杂、抽象，不妨试试简便、快捷的逆向思考，即所谓的“正难则反”.

一、反证法的概念

（一）反证法定义

从原命题结论的反面出发，通过正确的逻辑推理过程，导致矛盾的结果，从而肯定原命题结论正确的证明方法叫反证法.

（二）反证法解题思路

反证法解题的基本步骤分为三步：

1.反设：先否定结论，假设原命题的结论不成立，而设其反面成立.

2.归谬：将“反设”作为条件，通过一系列推理论证，推导出与已知条件、题设、定理等自相矛盾的结论.

3.下结论：由矛盾得出“反设”不成立，则原命题结论正确.

二、反证法的应用（四大类型）

（一）函数类型

例1设二次函数f（x）=x2+px+q，求证：|f（1）|，|f（2）|，|f（3）|中至少有一个不小于12.

证明假设|f（1）|，|f（2）|，|f（3）|都小于12，则有

|f（1）|+2|f（2）|+|f（3）|<2.①

另一方面，由绝对值不等式的性质，有

|f（1）|+2|f（2）|+|f（3）|≥|f（1）-2f（2）+f（3）|

=|（1+p+q）-2（4+2p+q）+（9+3p+q）|=2.②

显然①②两式相互矛盾，所以假设不成立，则原命题结论正确.

（二）数列类型

例2设数列{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和.

（1）求证：数列{Sn}不是等比数列;

（2）数列{Sn}是等差数列吗？并说明理由.

证明（1）假设数列{Sn}是等比数列，则S22=S1S3，

即a21（1+q）2=a1·a1·（1+q+q2），因为a1≠0，

所以（1+q）2=1+q+q2，即q=0，这与公比q≠0矛盾，

所以数列{Sn}不是等比数列.

解（2）当q=1时，{Sn}是等差数列;

当q≠1时，{Sn}不是等差数列，

否则2S2=S1+S3，即2a1（1+q）=a1+a1（1+q+q2），

得q=0，这与公比q≠0矛盾.

（三）不等式类型

例3已知a+b+c>0，ab+bc+ca>0，abc>0，求证：a，b，c>0.

证明假设a<0，∵abc>0，∴bc<0，

又a+b+c>0，∴b+c=-a>0，

∴ab+bc+ca=a（b+c）+bc<0，与题设矛盾.

若a=0，则与abc>0矛盾，∴必有a>0，

同理可证：b>0，c>0.

（四）几何类型

例4如图所示，⊙O两弦NP，MQ相交于点A，且NP，MQ均不过O点.求证：弦NP，MQ不能互相平分.

证明假设NP与MQ互相平分，平分点是A，

由垂径定理得OA⊥NP，同时OA⊥MQ，

∴NP∥MQ，这与已知中的NP与MQ相交矛盾，

∴NP，MQ不能互相平分.

三、结论

总之，通过对反证法概念，解题步骤和例题的具体介绍，体现了在数学这门严谨且富含逻辑的学科里，反证法的重要性.同时反证法的难点也显而易见，通过提出的假设与已知条件、题设、定理等自相矛盾，进而展开思路，寻找出解决的方法.此外，只要我们熟练地掌握反证法的使用，它不仅可以单独使用，也可以与别的方法结合一起使用.学习和运用反证法会培养我们严谨、创新的思维，从而慢慢形成一种优良的数学素养.

【参考文献】

[1]杨婷.数学中反证法的应用[J].佳木斯教育学院学报，2013（3）：133-134.

[2]刘福山.中学数学竞赛中的反证法[J].数学教学通讯，2015（30）：52-53.

[3]刘宝兰.浅谈反证法在中学数学中的应用[J].新课程学习（下），2012（11）：32.