中考函数命题研究与复习中的核心素养体现

苏顺

摘 要 本文致力于解决函数复习中的盲目性，力求做到有正确导向，有贴切内容，有基本方法。本文分为三部分。第一部分从一道“常规函数题”说起，从原则定位、角色定位、内容定位分析了中考复习中的问题所在。第二部分以《课标》核心词（符号意识、几何直观、运算能力、模型思想）为导向，从理论分析、内容概括、真题特征三个角度概括了中考函数命题方向，并在理论上驳斥了函数命题解析化的不合理性。第三部分以组织者的角度分析了教师在函数复习中应该具备的全局性的视野。

关键词 中考；函数；研究

中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2018）11-0188-03

【逻辑框图】

一、问题陈述

（一）命题走向分析

以下是一个在教辅资料中频繁出现的“常规”题（如右图）：反比例函数图像和一次函数图像交于A、C两点，求△AOC的面积。

现从两个方面来探讨命题走向。

1.如果本题的条件为“A、C是给定坐标”，则根据A、C、O三点的坐标位置易求△AOC面积。这与《课标》中的核心词——“空间观念”要求相一致，可以作为中考命题方向。但此时，题目已经与函数考查无关，仅仅是一道几何问题，并不属于函数命题的范畴。

2.如果本题的条件改为“给定两个函数表达式y=3/x和y=x+2”，那么这个题目就与中考函数命题方向严重冲突。理由如下：

（1）考试说明不要求联立反比例函数与一次函数求交点的解法。

（2）即便求解方法在允许范围内（比如将反比例函数改为一次函数），这类问题也明显违背了《课标》核心词——“几何直观”对于函数学习的内在要求。此题走到与函数研究无关的几何领域中去，这是典型的函数解析化问题，在函数复习中应该坚决回避。（后面章节将详细论述函数解析化的不合理的理由）

（二）教学定位分析

教师必须在研读课标核心词的基础上研究命题方向，否则会出现三个问题：

角色定位被动：不少教师将自己定位为“解题者”角色，以“教辅资料”的内容规划来安排复习方案，以“模拟考试”衡量自己复习质量。这样就不可避免的陷入被动化的复习模式。

原则定位缺失：作为中考复习的组织者，没有指导原则就会迷失在题海战术中。作为国家数学教学与考试的纲领性文件——《义务教育数学课程标》，它为函数教学、中考命题指明了方向；同时，中考紧扣《课标》要求，为人才选拔提供了公平的、符合学生认知规律的平台。简言之，《课标》是函数学习的基本原则和基本导向，中考是《课标》要求的具体体现。

内容定位偏差：由于导向原则的缺失，经常会出现“南辕北辙”的情况。比如不少教师青睐的所谓“函数解析综合题”，从中花费了大量讲解时间，导致复习有效性大为减弱。

二、函数命题方向研究

研究中考函数命题方向对于改进复习效率具有较强的作用。以下分别从理论导向、内容概括、表述特征三个方面进行研究。

（一）《课标》导向性分析

1.课标核心词与函数命题方向的关系

课标对函数命题的导向作用主要以核心词来体现。命题方向就是对《课标》相关核心词所提及的数学素养的具体实现和价值重构。寻找相关核心词就是寻找中考函数命题的基本原则。

2.核心词表述及导向内容

（1）符号意识：指能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律。

命题导向：符号意识是函数表达式书写的基础，因此它是函数命题的基础，函数命题以函数表达式作为基本考查对象。

（2）几何直观：指利用图形描述和分析问题。

命题导向：用图形解决代数化的问题的手段。函数图像是几何直观最为直接的体现，利用函数图像解决代数化问题的考查形式在中考函数命题中占据核心地位。

理解几何直观是准确把握函数图像作用的前提——函数图像作为寻找问题答案的重要手段，是为解决问题而提供的图形化工具。

（3）运算能力：主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。

命题导向：用代数方法解决代数化问题，是函数问题中较为重要的考查形式。

（4）模型思想：模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。

命题导向：将实际问题以函数表达式的形式来描述。这是函数命题的常见入口，也是函数的生活化接口。模型思想不仅反应了量的联系途径，也反应了实际问题的数学化转换方向。

3.核心词逻辑梳理

核心词的宏观导向使函数命题具备了四个特征：具备生活化的接口，具备符号化的描述特征，具备运算功能，具备图形化解决问题的潜力等四大特征。命题允许缺少部分特征，但不能与既定特征相違背。

对照以上特征，“函数解析化”就违背几何直观这条准则的——几何直观不是要求函数问题几何化，而是要求解决问题直观化。

函数解析化的定义：以函数图像作为几何背景，以长度、面积、几何关系作为常见的考查内容，以勾股定理、相似三角形等几何度量手段作为解题方法。

函数解析化意味着函数图像的直观化不再是解决问题的工具。同时，这种命题方式放弃了函数研究的基本对象和基本方法。使得教材上常见的研究函数的方法和函数知识网络在面对此类问题时失去作用，使教师和学生不得不为了应付这样的考题，花费大量精力寻找解决此类问题的命题和解题技巧。然而此类问题终究不具备科学的教学体系，讲授的同时已经脱离了不少学生的认知规律，这也是从函数章节开始两极分化开始严重的重要诱因之一。

（二）内容总括分析

将《课标》核心词要求具体化，从三个维度对函数考查内容进行梳理。

1.（维度一）基本要素：表达式、坐标、图像

函数命题不论涉及怎样的背景表述和结构特征，最终必化归为三个基本要素之一（或组合）。如图所示：

2.（维度二）基本方法：外在关系符号表述、几何直观揭示核心、代数运算精确定位

数学问题都要明确研究的基本对象和基本方法。虽然具体解题细节千变万化，但是万变不离其宗。变量的表层关系一定通过符号化（建立方程、函数、不等式）的工具完成；变量的深层关系一定在函数图像内体现；变量间的精确定位（位置）一定通过解方程、求代数式值等运算实现。

3.（维度三）设问方向：

函数体系下的问题设置围绕函数研究的核心内容展开。

（1）实际问题与函数模型的互推

这类问题是《课标》核心词——符号意识与模型思想的具体体现。他需要学生用符号化的语言将题目描述的實际问题转换为代数化的问题。这是中考育人功能的一个体现——考查学生的转化能力（包括事件的等效转换和语言的表述转换），这些能力在人生成长过程中将长期发挥重要作用。笔者认为，在初中三年的数学学习之路上，转换能力的进步是学生数学水平提升的重要标志。现实中的常见问题主要分为事件驱动型问题和图形驱动型问题两类。事件驱动型包括生活常识型事件和科学常识型事件。图形驱动型包括几何图形和现实图形。

（2）函数图像与特定坐标的互求

这类问题是《课标》核心词——运算能力的具体体现。

（3）函数性质与图像描述的互译

函数性质的主要内容包括：增减性、对称性、点的存在性、变量范围、极值、方程不等式在函数图像上的体现等。这类问题是《课标》核心词——几何直观的具体体现。近年来，随着对几何直观的重要性认识的不断加强，函数类命题基本上是在没有图像的，命题组越来越倾向于让考生自己画出函数图像解决问题。这对于考生画图能力的提出了很高的要求。

（三）命题结构分析

结合近年中考题可以得出几种命题的具体特征：

（1）基于几何直观的设问特征

在以上命题结构的运算中，代数运算是次要地位，从图像上发现特征并翻译为结果是主要地位。

（2）基于运算能力的设问特征。在这种命题结构中，代数运算能力占据主要的位置。

（3）基于模型思想（语言转换）的设问特征。

三、教师全局性视野

本文提出教师不能局限于“解题者”的身份定位。在对函数命题方向深度研究之后教师就会有足够的自信成为函数复习的主动架构师，而不是教辅资料的附庸者。

（一）选题视角

用命题组的视角既可以的找准选题方向，也可以提高选题的质量。审视题目的主要原则是：权威性，公平性。

权威性：问题的设置必须符合课标中提及的核心词要求。比如，几何问题可以借助函数及其图像和性质来解决问题。但反之不成立，不能将函数图像看作图形去研究几何的常见问题（包括面积、长度、角度、垂直、平行）。难度依据课程标准、考试说明严格制定。题目背景不仅具备数学性，也符合科学观。（比如一张纸折多少次可以达到一个成年人的身高，这是不符合科学精神的）

公平性：命题组做到为全体考生负责的态度，绝对不会模仿偏题和怪题，导致做到过题目的人很快瞄准解题路径，没有做过的人无从下手，造成选拔性考试的不公平。解答的方法必须以常见的运算，观察，思维步骤入手。

（二）结构提炼。

一些函数问题在命题表述方式和逻辑关系上呈现一些共性。笔者将这种共性称为命题结构。命题结构展现出一类题目的共同特征，提炼结构的过程就是抓住函数问题本质的过程。

（三）细节关注

（1）区分图形与图像。图像是变量内在关系的呈现，图形是数据外在特征的描述。他们在研究对象和领域上的区别意味着解题过程和方法截然不同。给出图像，意味着要将问题翻译为图像的语言，从图像中寻找问题的答案。给出图形，那么一定会经历实际问题抽象、几何直观描述、代数运算求解这个过程。

（2）关注方法与方向。方向是解题的线索，方法是解题的步骤。两者都是解决问题的重要组成部分。方向由背景、表述、研究对象的产生多变的组合，方法却是有限的几种。

（3）明确考题与例题。很多时候我们将考题（特别是解析化的“综合问题”）作为重点范例讲解。这源于函数解析化过程中大量的非函数本质的问题出现，使得学生无法将教材中呈现的函数研究思路和基本方法应用在实际的考试中。经过拨乱反正，教师对于中考函数命题方向有深刻理解后，应该将函数复习回归到函数的本质问题：函数的基本要素，函数的讲究方向，函数的研究方法。