抓典型、分层次

张俭

[摘 要] 习题课教学要讲究方法与策略，抓典型、分层次是最直接也是最有效的做法. 就数学学科而言，高中数学习题设置要抓典型、分层次，意味着我们的例题、习题选择在所教授知识单元、模块学习过程中应该具有代表性，紧密围绕教学主题，同时又关注学生的思维水平和认知发展顺序，学生透过典型例题能够举一反三，又可以向外延展与反思.

[关键词] 高中数学；习题教学；典型；分层

什么是习题课？我们每个教师似乎都懂，但是又没有将其与其他课型区分开来，简单而言，“习题课”是以教师提供习题，教师与学生一起研究习题，讲评习题为主线的课型. 不过很多教师将习题课上烂了，如搞题海战术（刷题）和醍醐灌顶（讲题）等. 如何切实提升习题教学的实效，借助于优化我们的习题课教学提高数学教学的效果呢？笔者认为，我们的高中习题教学要抓典型，同时也要分层次.

高中数学习题设置要抓典型

什么是典型？典型意味着我们选择的例题都可以视作为一个范例，通过对例题的思考与解决，可以沉淀下经验与方法，便于其他的相似数学问题的解决. 具体而言，抓典型应该从如下几个方面着手：

1. 围绕主题

有效的教学首先都应该有明确的目标，对于习题课教学亦是如此. 对于习题课教学而言，我们的目标设置应该是多个维度的，包含知识点、数学思想方法、解决问题的经验与能力、情感态度与价值观等，为了达成相应的目标，我们所选择的例题应该有明确的指向性，紧紧围绕着某一个主题设计，或围绕某个概念双基要求，或为了强化某类数学题的解法，或为了引导学生熟悉某一类数学问题的解题流程，或为了暴露学生在解决问题过程中可能出现的错误，等等.

例如，“实系数一元二次方程的解”这节习题课，正对双基要求，我们可以从如下4个方面有针对性地进行例题设计.

（1）复数范围内的情况判别：

（2）理解总有两解，掌握根的求法：

（3）在复数范围内因式分解：

2. 可以举一反三

在围绕主题的同时，我们选择的例题还应该具有代表性，什么意思？代表性意味着这一个习题的解答能够牵连出一类数学问题的思考，通过一道习题的讲解能够将某种数学思想方法迁移到与之类似的一类问题的解决中来，即起到举一反三的教学目的.

当然，有时仅仅靠一道题是难以实现举一反三的目的，我们可以给学生提供一组题，借助于“题组”覆盖与某一数学核心概念相关的几类数学题，或覆盖几种解决同一类数学问题的多种数学思想与方法. 举一反三的目的在于强化学生解决问题的方法意识，内化概念的同时渗透数学思想.

3. 能激发思维

对于知识目标而言，学生的思维发展更为重要，为此我们选择的典型例题应该能够启发学生的思维，具有“由浅入深，耐人回味”的特征，而且在问题的引领下，通过对题目的变形、拓展和学生的解题后反思能够收获更多. 例如，教材中椭圆的标准方程后有这样一道习题.

例7：已知动圆C过定点A（-3，0），并且在定圆B：（x-3）2+y2=64的内部与定圆B相切，求动圆C的圆心轨迹方程.

分析：这道习题就具有典型性，能够帮助学生内化如何运用“定义法”求解相关动点轨迹的问题. 同时这道习题又不是孤立的，其具有可塑性，可以由该题出发进行变式与延展，促进学生思维向外发散.

延展1（改变原题中的已知条件）：已知动圆C与圆A：（x+5）2+y2=4和圆B：（x-5）2+y2=16均相切，求动圆C的圆心轨迹方程.

分析：“延展1”给的情境与例7相比要复杂一些，对圆A、圆B的位置关系进行分析，不难发现两者是相离的，可以借助于这个延展培养学生的思维缜密性和发散性，对于这个问题学生需要从4个方向尽心思考：①动圆C与圆A内切且与圆B外切；②动圆C与圆A外切且与圆B内切；③动圆C与圆A、圆B均外切；④动圆C与圆A、圆B均内切. 每一种情况对应着相应数学概念和规律进行求解，然后再借助于归纳分类的思想进行整合，发现规律. 有效发散学生的思维，同时学生的规律思想还可以向前延伸，例如基于“延展1”我们还可以继续变化：如果我们改变定圆A与定圆B的位置关系，对动圆的圆心轨迹有怎样的影响呢？延展继续向前.

延展2（圆A、圆B外切）：已知动圆C与圆A：（x+5）2+y2=36、圆B：（x-5）2+y2=16均相切，求动圆C的圆心轨迹方程.

延展3（圆A、圆B相交）：已知动圆C与圆A：（x+5）2+y2=64、圆B：（x-5）2+y2=16均相切，求动圆C的圆心轨迹方程.

延展4（圆A、圆B内切）：已知动圆C与圆A：（x+5）2+y2=196、圆B：（x-5）2+y2=16均相切，求动圆C的圆心轨迹方程.

延展5（圆A、圆B内含）：已知动圆C与圆A：（x+5）2+y2=256、求圆B：（x-5）2+y2=16均相切，求动圆C的圓心轨迹方程.

通过上述延展后，我们引导学生再回过头来思考，从例7到延展5是否可以“统一”处理呢？学生的思维从发散到聚合，如果将例7中的定点A视作为以A为圆心，半径为0的定圆即可，继而看到原习题与延展题的方法的统一性.

高中数学习题设置要分层次

学生是学习的主体，这里的学生指的是全体学生，而在班级内部，学生的数学解题能力和数学思维是参差不齐的，同时对于具体一个学生而言，其思维也是从不成熟逐步走向成熟的. 针对这一现状，如何激活所有学生的思维，提升习题教学实效呢？笔者认为唯有分层.

1. 分类处理

分类处理其本身就有分类、分层的意味.

例如，在“分段函数”学习时，会涉及很多实际应用类的问题，如果我们不加细分就直接抛给学生，不利于学生思路的整理和知识内化，笔者认为应将此类问题有意识地进行细分为两类：其一，单个分段函数问题（如出租车收费问题）；其二，两个函数问题（如龟兔赛跑问题）. 分类后，例题的呈现和讲解便有了顺序，采用先易后难，有意分层不仅符合学生思维发展的规律，也有助于帮助学生区分两种不同情形，促进分类意识与思想的发展.

2. 按照认知顺序把握例题的层次性

学生的学习心理和思维特征尤其特殊性，我们的习题设置除了要围绕考纲和教学内容外，还应该关注学生的认知发展顺序，否则将无法撞击学生思维的撞针，导致学习无效，符合学生的认知顺序实际上也是我们例题分层设计的一个依据. 总体而言，我们的习题设计应由易到难，由浅入深，由现象到本质，当然从学生思维习惯来看，分层还需要引导学生从正向思维转向逆向思维.

例如，学生在学习了y=Asin（ωx+φ）的图像和性质后，为了促进学生的思维发展，我们可以先设置一个习题引导学生正向思维，接着再设置一个逆向思维，这样的分层有助于暴露学生的思维障碍，引导学生通过对比进一步深化认知，提高思维的灵活性.

例8的这两个问题看似相同，仔细分析后会发现差异，逆向思维比正向思维更容易出错.

3. 分步突破重点、难点

对于学生而言，知识、技能在其认知发展过程中都不是直线上升的，而是螺旋式上升的，而每一个上升阶段助推的关键位置则是数学学习的重点与难点所在，对于重点、难点在新授课学习的过程中，课堂上是难以一次性完成突破的，怎么办？需要我们学生分阶段、分层次地做一些习题，甚至是“碰一碰壁”，为此我们习题的分层，是分布突破教学重点、难点的需要，同时也是暴露出学生中学习困难对学生学习层次进行区分与反馈的需要.

例9：设函数f（x）=lg（ax2+2x+1），（1）若f（x）的定义域为R，求实数a的取值范围；（2）若f（x）的值域为R，求实数a的取值范围.

例9这道例题具有典型性和分层性，这是学生步入高一，学习对数函数基本概念的时候较为常见的习题类型，这两个问题的提议相似，仅仅改变了“定义域”和“值域”两个词，有意识地放在一起让学生进行思考，可以将学生的思维水平层次划分出来，因为这两个问题的解题方法刚好相反，对于思维水平较弱的学生而言，这是易错题，错了怎么办？可以让学生以学习小组为单位，思维水平高的学生帮助思维水平较弱的学生找到正确的方法.