将问题发散开来

周学俊

[摘 要] 学生发散思维的培养是数学教学的重要内容，在日常教学环节，教师需要改变传统的提问方式，增强问题的发散性，进而引导学生充分思考，强化思维锻炼. 文章选取北师大版高中数学，结合教学实例，对课堂教学中的问题引导方式进行了探討，以期切实提升学生的发散思维能力.

[关键词] 数学教学；发散思维；提问方式

【案例引入】 2017年高考数学北京卷第20题

在一次数列习题课上，笔者选取了这道高考真题对学生进行思维训练.第一问的结果反馈较理想，学生知道通过求解出数列{cn}的通项公式就能证明其为等差数列；对第二问学生就遇到了较大的问题，仅仅局限于题目给定的条件去作答，效果比较差. 其实，这一问虽然难，但并非一点分都拿不了. 其实质是对“放缩法”的考查，要求学生具备一定的问题分析及问题解决能力，需要学生进行分类讨论与转化.

本次练习的结果反映了发散思维能力的培养极为重要，基础知识的掌握情况大多数学生是差不多的，差别就在于对知识点的发散以及准确使用. 诚然，高中数学是难度比较大的学科，除了其本身的枯燥性，造成这种状况的主要原因还是学生自身思维过于局限，这也反映了在教学过程中教师没有组织开展有效的思维训练. 因此，在数学教学过程中，教师需要结合课程内容，改善提问技巧，适当地提出一些发散性的问题，引导学生发展发散性思维. 事后笔者针对这堂习题课，从以下三个方面进行了反思与总结.

首先，观察题目，举一反三

教师提问：黑板上展示的是一道极值问题，同学们认为这道题考查的是什么？

学生甲：三角函数、不等式.

学生乙：导数.

学生丙：还可以利用几何法解决！

教师提问：如果是求导，原函数会变成什么样子？

学生乙：（在草稿纸上验算）好像又变成差不多的分式了.

教师评论：没错，这道题如果利用求导来做，同学们会发现分式上下仍然同时存在正弦函数与余弦函数，和原题形式差不多. 甲同学，说说你的解题思路吧.

学生丙：我们可以把原函数看成动点（cosx，sinx）与定点（2，2）形成直线的斜率，题目就转化成求斜率的极值.

教师评论：这个方法很好（在黑板上画出示意图），是一种数形结合的思想方法. 今后同学们在遇到函数或者其他代数问题时，可以尝试画出示意图，看题目中的数量关系有没有几何意义，这样能极大地简化大家的解题过程.

评析：在答题过程中，学生如果能从题干信息中找到或者提炼关键条件，那么解题思路与解答过程都能围绕这些关键条件展开，用这样一个条件可以得到很多的有效结论，这些结论能反作用于学生的解题过程，提供新的思路，极大地锻炼了学生的发散性思维. 在思考过程中，引导学生举一反三，感受到不通数学思想方法之间的区别与联系，这能使得学生在解决同类或相似问题的过程中游刃有余. 在数学学科中锻炼到的自主思考能力能对其他学科的学习产生积极的促进作用，对学生的成长有很大的帮助.

其次，巩固基础，有的放矢

教师板书：已知二次函数f（x）=ax2+bx+c过原点，同时过（5，0）和（6，-6）两点，试求该函数解析式.

教师提问：这是一道求二次函数解析式的题目，属于基础演绎题，考查的是大家对二次函数基础知识的掌握情况. 大家在学习的时候接触到好几种二次函数表达式，可以回忆一下，用多种方法来求解这道题.同学们说说这道题要怎么解决？

同学甲：可以采用二次函数一般式进行解决. 由题干信息我们可以知道该函数过原点，即函数同时过（0，0）、（5，0）以及（6，-6）三个已知点，我们可以将这三个点代入函数表达式，联立方程组可得：

评析：在日常的教学过程中，教师要强化基础知识的巩固练习，让学生具备扎实的学科基础知识，这样才能在解题过程中有更多合理的选择，思维的发散才能最高效、最合理，而不是漫无目的地瞎想. 只有在基础理论知识掌握得足够好的前提下，学生才能在做题的过程中有更多的思路，熟练地运用各种方法.

最后，多面思考

教师板书：已知等差数列前十项和为310，前二十项和为1220，请求出该数列的前n项和Sn.

教师提问：在题干信息中我们已经知道了该等差数列的前十项和以及前二十项和，要求解数列的前n项和. 同学们有什么思路？

学生甲：要想求解数列的前n项和，我们就要知道首项与公差之间的关系，然后就可以用求和公式得出数列的前n项和.

教师评论：总体思路是对的，总结下来，这道题可以有两种不同的思考角度，一种是求数列通项公式，另一种是直接由求和公式列方程求解.用通项公式的方法需要怎么做呢？

消元得d=6，继而将公差代入任意一个表达式，求出a1=4，则等差数列前n项和Sn=3n2+n.

评析：在本例中，教师可以作为问题解决的辅助者，给学生提供多个角度的思考方向，引导学生从多个角度进行解读，激发学生对于问题展开多方面、多角度的思考，达到深入学习的教学目的.

以上就是笔者由一道高考题引发的教学思考. 高中数学教学的目的不单单是向学生传授知识，在当前新课改的大背景下，数学教学更应该关注学生学习方法的改善，引导学生形成适合自己的思维能力，学会独立分析问题、解决问题. 因此，数学教师在日常的教学过程中就要注意对学生发散性思维能力的培养. 这并不需要对现有的教学模式做出多大的改革，只需要对提问方式进行完善，杜绝浅尝辄止式的提问方式，要由点到面，由一道题、一个知识点去发散，这样能极大地提升教学效率，更重要的是能“就题而不论题”，培养学生的发散性思维.