巧用等价无穷小代换计算极限的方法推广

胡珍妮　王奕闰

【摘要】极限是高等数学中的基本运算工具，正确使用等价无穷小代换可简化极限运算.本文介绍了常见等价代换及错例分析并对含有和差项的等价代换做简单推广.

【关键词】等价无穷小；代换；极限；推广

极限是函数研究的重要方法，也是研究变量变化趋势的基本工具.高等数学中的许多基本概念都是以极限思想为基石，因此，学好极限对高等数学学习举足轻重.等价无穷小代换是极限运算的常用方法，正确使用等价代换可简化运算.然而，此方法并非万能，它的使用是有条件的，稍不注意就会出现计算错误[1].本文结合实例介绍了常见等价代换及错例分析并对含有和差项的等价代换做简单的推广.

一、无穷小与等价无穷小

我们知道，在自变量的某种趋势下，极限为0的一类函数称为无穷小.可以看到无穷小在本质上是函数，而0只是作为无穷小的唯一一个常数.

α，β是自变量在同一变化过程中的无穷小量，若limαβ=1，则称α与β是等价无穷小，记作α～β.常用的有：当x→0时，sinx～tanx～arcsinx～arctanx～（ex-1）～ln（1+x）～x；1-cosx～12x2；（1+x）-1～x（≠0）；ax-1～xlna（a>0）.[2]

二、“limαβ”型极限中的等价无穷小的代换

定理1在同一变化过程中，若limα=0，limβ=0.α～α′，β～β′且limα′β′存在，则有limαβ=limα′β′.[3]

例1求极限 limx→0（1+x2）13-11-cosx.

分析此题是“00”型未定式，根据定理1，应该考虑函数的分子与分母可否用其等价无穷小代换，以简化极限的运算.

解当x→0时，（1+x2）13-1～13x2，1-cosx～12x2，

所以， limx→0（1+x2）13-11-cosx=limx→013x212x2=23.

利用极限的变量代换法则，等价无穷小还可大大扩展应用范围.当x→x0（或x→∞时），u（x）→0（u（x）≠0）有u（x）～sinu（x）～tanu（x）～arcsinu（x）～arctanu（x）～ln（1+u（x））～（eu（x）-1）；1-cosu（x）～u2（x）2；（1+u（x））-1～u（x）（≠0）；au（x）-1～u（x）lna（a>0）.例如，当x→0时，esinx-1～sinx～x；当x→∞时，ln1+1x～1x.

三、“limα±βγ”型极限中的等价无穷小的代换

应用等价无穷小代换的原则是：乘除可用，加减慎用.而学生在利用等价无穷小代换计算极限时往往容易出错，究其原因，是弄不清楚代换的原理及对象，另外就是对无穷小的等价概念不清楚[4].当出现两个无穷小的和或差时，应怎样计算呢？为了解决学生的困惑，下面结合实例对极限式中含有和或差项的等价代换做简单推广.

定理2设α～α′，β～β′，且limαβ=C.若C≠-1，则α+β～α′+β′；若C≠1，则α-β～α′-β′.[5]

例2求极限 limx→0tanx-sinxx3.

错解因为，当x→0时，tanx～x，sinx～x，

所以， limx→0tanx-sinxx3=limx→0x-xx3=0.

错误分析当x→0时，tanx～x，sinx～x，此时 limx→0xx=1不满足定理2的条件，故错误.由定理1可知，等价无穷小的代换，必须是分子或分母进行整体代换，一般情况下不能代换分子或分母中的一项.事实上，tanx-sinx～x32（x→0），即tanx-sinx与0不是等价无穷小，即使将分子代换成x-sinx也不对，因为x-sinx～x36，即tanx-sinx与x-sinx也不是等价无穷小，这一点是初学者必须重视的.

正解limx→0tanx-sinxx3=limx→0sinx（1-cosx）x3cosx

=limx→0x·12x2x3=12.

例3求极限 limx→0sin3x-tan2x1+x-1.

解当x→0时，sin3x～3x，tan2x～2x，1+x-1～12x，因为， limx→0sin3xtan2x=limx→03x2x=32≠1，

所以，sin3x-tan2x～3x-2x=x，

故 limx→0sin3x-tan2x1+x-1=limx→0x12x=2.

定理3若α～α′，β～β′且limAα′±Bβ′Cα′±Dβ′存在，则当Aα′±Bβ′Cα′±Dβ′≠0且limAα±BβCα±Dβ存在时，有limAα±BβCα±Dβ=limAα′±Bβ′Cα′±Dβ′，其中A，B，C，D为非零常数.[6]

例4求极限limx→0sin3x2-2x23x2+tan2x2.

解当x→0时，sin3x2～3x2，tan2x2～2x2，

因为，limx→03x2-2x23x2+2x2=limx→0x25x2=15≠0，

所以， limx→0sin3x2-2x23x2+tan2x2=limx→03x2-2x23x2+2x2=limx→0x25x2=15.

总而言之，巧用等价无穷小的代换法求函数极限可简化运算过程.因此，掌握以上方法，就可以达到用等价无穷小代换法简化极限运算的目的.

【参考文献】

[1]赵琼.用等价无穷小代换求极限的两个误区[J].高等数学研究，2009（5）：17-18.

[2]王志平.高等数学（上册）[M].上海：上海交通大学出版社，2012：47.

[3]王绍乾，赵进超.利用等价无穷小代换求函数的极限[J].成都教育学院学报，2003（6）：80.

[4]殷君芳.用等价无穷小代换求极限的误区及一点补充[J].宜春学院学报，2011（4）：25-26.

[5]吴纬峰.对等价无穷小代換与洛必达法则求极限的探讨[J].潍坊教育学院学报，2008（2）：22-23.

[6]杨文泰.等价无穷小量代换定理的推广[J].甘肃高师学报，2005（2）：12-13.