初探欧拉公式

刘丽嫔

我们知道，在平面中，正多边形都有一个对称中心（正n边形的中心），正多边形也是轴对称图形，由此，我们说正多边形是非常漂亮的多边形.

让我们再把视野放到空间中的立体图形，将平面上的正多边形作一推广，即可得到正多面体的概念：如果一个多面体的各个面都是全等的正多边形，且每个顶点处所接的面数同样多，即为正多面体.正四面体（图1（1））是非常优美的空间几何体，它的每一个面都是全等的正三角形，每一个顶点在相对的平面三角形上的投影也是该正三角形的中心.

那么我们不禁会问：在平面上，只要正整数n≥3，就存在相应的正n边形，到了空间中，是否也有类似情况存在呢？即是否有正五面体呢？正六面体？正n面体呢（其中n≥4，n∈N❋）？

为了帮助大家解决上面的疑问，我们先来看这样一个问题：多面体的顶点数、棱数和面数之间有关系吗？

同学们可以先从下面简单的情形开始尝试：如图1（1）～（3）所示的3个多面体，分别数出它们的顶点数V、面数F和棱数E，并制成表格.

图1

表1

我们发现，多面体的顶点数、面数、棱数满足等式关系：V+F-E＝2. （*）

当然，并不是任意一个多面体都有这样的规律.

我们发现如果把（1）～（3）中多面体的任何一个面延展，那么多面体一定在这个面的一侧，我们把这样的多面体称为凸多面体.而另外的一些多面体，总存在某个面，将它延展，多面体分布在其两侧，我们把这样的多面体叫做凹多面体.有些凹多面体就不满足V+F-E＝2这个等式.

那么我们能不能尝试证明（*）式呢？我们以图1（3）为示意图，假设该简单多面体有F个面，且每个面的棱数分别为E1，E2，E3，…，EF，则有E1+E2+E3+…+EF＝2E（因为每条棱加了两遍），我们计算这个简单多面体的内角和为：（E1-2+E2-2+…+EF-2）π＝（E1+E2+…+EF）π-2Fπ＝2Eπ-2Fπ＝2π（E-F）.我们用面数和棱数表示出了简单多面体的内角和，现在我们尝试从另一个角度用顶点数表示内角和.我们假设这个多面体是由薄橡皮膜做成，内部是空的，有一个面破了，把其余各面摊开在一张平面图上，如图1（3）展成图2，设去掉的一个面为n边形，则得到一个n边形的展开图，并且内部有（V-n）个顶点.那么展开后的平面图形的内角和为（n-2）π+（V-n）2π，再加上去掉的一个n边形的内角和为（n-2）π，所以该简单多面体共有内角和为（n-2）π+（V-n）2π+（n-2）π＝（V-2）2π，则2π（E-F）＝（V-2）2π，即V+F-E＝2.

这个结论是瑞士数学家欧拉在1750年发现的，也称为欧拉公式.欧拉公式的背后是一门新的几何学，它只研究图形各部分位置的相对次序，而不考虑图形的形状和大小，如今这门学科已经发展成数学的一个重要的分支——拓扑学.

图2

现在我们再来回答文章开头提出的问题：如果正n面体存在，n可以取哪些值呢？我们假设正多面体顶点数V、面数F、棱数E，且每个面是正n（n≥3）边形，每个顶点有t（t≥3）条棱.那么有n F＝2E，t V＝2E，则，代入欧拉公式V+F-E＝2，即，整理得：.因为，所以.我们知道，若n＞3，t＞3，则矛盾，因此n和t中，至少有一个为3.若n＝3，t＜6，则t＝3，4，5；若t＝3，则n＝3，4，5.综上，只可能有五种正多面体，分别是正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体.

数学中，以欧拉命名的公式还有很多，同学们可以利用课余时间进一步研究更多更美妙的欧拉公式.欧拉是一位非常值得我们尊敬的数学家，命运曾几次向他伸出魔爪，在他28岁时，过度的工作使他的右眼失明，之后，他的左眼也完全失明.而他辛苦创作的著作又在一次火灾中化为灰烬.即便命运对他如此不公，他也丝毫没有放弃自己的钻研.欧拉在双眼失明的情况下，凭记忆和心算继续研究数学，口述了多本书和400多篇论文.

欧拉用顽强的毅力，孜孜不倦的奋斗精神，推动着数学的车轮不断前行，他对近代数学的发展产生了极其深远的影响.以他名字命名的那些公式如此美丽，如此精妙，成为数学殿堂的一道亮丽风景线！