不等式证明的方法

王菲

摘要：证明不等式的方法多种多样，对于不同的不等式，采用合适的证明方法，可以快捷地解决不等式问题。研究和探讨证明不等式的方法，对于进一步了解和研究不等式有十分重要的意义，同时为研究不等式应用提供理论基础和学术指导。

关键词：不等式；证明；函数

1.1、利用单调性，函数构造法

函数构造法是证明不等式常用的一种方法，构造相关函數，利用函数的单调性，通过判别函数的单调性，比较具体函数值的大小，从而证明不等式成立。如果未知函数具体形式的不等式，则不能用求导的方法来证明，这时我们就可以运用函数单调性和奇偶性来解决问题，同时还可以结合函数图形，更直观地证明不等式。对于一些可以转化为函数问题的不等式，通过构造辅助函数，判别函数单调性和奇偶性来解答不等式。

1.2、数形结合法

数形结合法是通过数与形的相互转化，通过图形将复杂或抽象的数量关系，直接形象地翻译出来，使数学问题获得简捷的解法。数形结合法是一种比较常用的证明不等式的方法，与其他证明方法相比，往往更直接更容易明白，解题更快。

1.3、比较法、综合法和分析法

比较法是一种比较常用的证明不等式的方法。比较法是通过观察和分析，找出研究问题的相同之处和不同之处。比较法一般分为作差比较和作商比较。作差比较法，顾名思义，就是两式相减与零比较大小。作商比较法，就是两式相比的结果与1比较大小。比较法运用比较广泛，很多定理性质都要用到比较法。比较法是证明不等式的最基本的方法，采用作差法还是作商法，关键在于所证不等式的结构和条件，其目的在于作差或坐商后，是否易于解决问题。比较法一般用于证明常数不等式。

综合法是由因及果，分析所证不等式的两边，得出结果。分析法是由果及因，从所证不等式一步一步分析，化简后的不等式明显成立。

1.4、放缩法

放缩法是根据不等式的传递性将不等式的一边适当地放大或缩小，从而使不等式简单明了，进而证明不等式成立。放缩法关键是放大或者缩小，放缩过程是一个逐步放大或者缩小的过程，要根据式子的特点来掌握放缩程度。放缩可以增、减项放缩，从而达到目的。放缩可以裂项，通过前后相减，简化不等式，从而达到目的。一般来说，放缩法主要运用于含字母的不等式的证明。

参考文献

[1] 匡继昌.常用不等式[M].济南：山东科学技术出版社，2004.1

[2] 杨学枝.不等式研究[M].拉萨：西藏人民出版社，2000