2018全国高中数学联赛安徽省初赛第七题的多种解法与推广

安徽省宿州市砀山中学 (邮编：235300)

1 解法探究

解法1 (几何法)

图1

由奔驰定理得，S△BHC∶S△AHC∶S△AHB=3∶4∶5，

在直角Rt△ADC中，

又因为∠ACB+∠AHB=π，

解法2 (向量法)

所以

解法3 (坐标法)

图2

建立如图所示的平面直角坐标系，令A(0,a),B(b,0),C(c,0),H(0,h)，

解法4 (垂心性质)

因为H是△ABC的垂心，所以tanA∶tanB∶tanC=3∶4∶5，

令tanA=3k，tanB=4k，tanC=5k，

又因为tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC，

又因为 ∠ACB+∠AHB=π，

2 结论推广

图3

结论2 在△ABC中，角A、B、C所对的边为a、b、c，若O为△ABC的重心，则有x=y=z；

结论三在△ABC中，角A、B、C所对的边为a、b、c，若O为△ABC的外心，则有sin2A∶sin2B∶sin2C=x∶y∶z；

结论四在△ABC中，角A、B、C所对的边为a、b、c，若O为△ABC的内心，则有a∶b∶c=x∶y∶z；

结论五S△BOC∶S△AOC∶S△AOB=|x|∶|y|∶|z|.

3 应用举例