利用向量投影 凸显几何直观

安徽省寿县第一中学 (邮编：232200)

文[1]给出一类向量问题的通性解法，读来受益匪浅.对涉及的问题，联想到向量数量积的几何意义，感到利用向量投影解决，比较简明自然，容易把握，并且体现了几何直观素养的价值.

1 问题缘起

图1

图2

2 方法提炼

3 方法应用

图3

题1 证明勾股定理：如图3，在△ABC中，如果∠ACB=90°，那么AC2+BC2=AB2.

图4

点评本题方法多样，难度不大，用坐标法比较自然，但是若考虑向量的投影，便一望而解，不亦快哉！

图5

解如图6，因为∠ABC=90°，所以点B在以AC为直径的圆上，设圆心为O.

图6

图7

过点B作直线AP的垂线，垂足为Q.

(1)求直线AP斜率的取值范围；

(2)求|PA|·|PQ|的最大值.

解(1)略.(2)因为点P在抛物线x2=y上，所以P(x,x2)，于是

设

点评通常解答题第(1)题对第(2)题有促进作用，命题者的意图可能提醒考生引入变量直线AP斜率k，第(1)题已经得到k的取值范围，用点斜式分别表示出直线PA、BQ的方程，联立方程求出Q的坐标，进而表示出|PA|、|PQ|，最后利用函数知识解决，但是运算量比较大.现在逆用向量数量积的几何意义，避免求Q的坐标，很容易表示目标函数|PA|·|PQ|，别有洞天.

4 文[1]两应用题的向量投影的解决

图8

图9

图10

图11

“数形结合百般好”，向量的投影是数形结合的典范.遇到向量数量积，可以优先考虑向量数量积的几何意义，有助于问题的直观形象思考，提高解题效率，发展几何直观素养.