数形结合在初中数学教学中的应用探讨

徐勇

【摘 要】华罗庚先生曾经说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微。”这两句直白浅显的话语，一针见血地指出了在数学知识体系中“数”与“形”的关系，即“数”辅助“形”，“形”解释“数”，数与形的结合不仅让“数”的解释更加直观，也能够让形的表达更加准确。基于此，教师需要结合初中数学教学实际，对数形结合的应用做出相应的探究。

【關键词】以形助数；以数辅形；数形结合

初中阶段是学生思维培养的关键时期，在数学问题中渗透数形结合思想，让初中生打破知识学习过程中的隔阂，在“数”与“形”之间建立沟通与联系，并达到由数思形、见形思数、数形结合的目的。从目前初中数学教学设计来看，虽然教材编排中将数形结合贯彻其中，但应如何把握好数形结合的分寸，如何引导学生自主思考数形结合的有效途径呢？

一、以形助数，简化解题过程

探究数量关系是数学体系中的主要内容，严密的逻辑、抽象的含义往往是阻碍学生理解问题的“绊脚石”。因此，在数形结合理念的指导下，教师应利用恰当的几何图形，对抽象的数量关系进行“翻译”，简化解题过程，进而建构数学知识体系，以帮助学生消化知识。在初中阶段，需要以形助数的知识内容主要包括：

1.有理数知识

在有理数这一章节中引入了“数轴”，在数轴上标出有理数的位置则是实现数形转化最直观的案例。因此，在有理数的讲解中，教师应结合“数轴”知识，帮助学生了解图解方法。

例如题目：在数轴上，A点和B点所表示的数分别为-2和1，若使A点表示的数是B点表示的数的3倍，应将A点如何移动。在题目讲解中，教师可以指导学生直接画出数轴，在数轴中标出A、B两点，根据条件直接观察数轴，可知需要将A点向右移动5个单位，即落在3的位置，保证“A点表示的数是B点表示数的3倍”。

2.不等式知识

初中阶段，学生初次接触不等式，相较于之前学过的确定的方程解，不等式解的范围常常让学生迷惑，这时，教师就可以利用数轴将不等式解的范围画出来，从而降低知识的理解难度。

例如不等式组： 2-x>0

+1≥，求得不等式组的解为-1≤x<2，在数轴上则可以直接描绘出-1到2之间的一段距离。这样，学生不仅可以区别等式方程与不等式方程解之间的含义，还能够根据数轴提示验证不等式解准确与否。

3.方程组知识

在初中阶段，二元一次方程组是学生探究数量关系的重要手段，在数形结合的指导下，教师可以指导学生将方程组中的每一个方程转换成函数，并绘制一次函数图像，并根据两条函数图像的位置关系确定解的个数及其位置关系。

例如题目： 2x+y+1=0

x+2y=0，通过绘制图形发现两条线相交。因此，方程组有一组解，即x=-，y=，这样的数形结合能够让学生深入理解并灵活运用。

4.函数知识

函数问题作为数学体系中最重要，也是最关键的存在，其解题过程必须要依靠图形，换句话说，数形结合在函数问题中得到了最淋漓尽致的体现。只有借助图形的辅助，函数解析式的表达含义才将更趋完整。基于此，在初中数学课堂教学中，教师应结合函数知识对数形结合理念进行系统渗透。

例如题目：某酒店有客房90间，当每间客房定价为140元时，客房能够住满，客房每涨价10元，就会有5间客房空出来，而居住的客房，酒店每天要支付各种费用总计60元，请问，酒店利润与客房涨价之间呈什么关系。在解析这一问题的过程中，教师首先要指导学生根据经验判断二次函数的基本特征，然后利用题目中的数量关系找到两个坐标点，并代入解析函数。

二、数形结合，深化知识理解

数与形之间对立又统一的关系，能够启发学生观察数与式的特征，并在分析数形转换路径的过程中，将抽象知识升华为具体可见的数量关系或图形状态，从而实现数字化或图形化的理解过程，让学生进一步理解以形助数、以数辅形的途径，以达到数与形的真正融合与运用。

例如题目：求的值，在解题中，教师先让学生观察每一个加数的特点，然后指导学生制作面积为1平方米的小正方形，并标上不同的序号，第一次剪去小正方形的一半，正好能够得到，而第二次剪去剩余图形的一半正好是，以此类推，每一次剪去的都是上一次图形的一半，当第n次剪掉图形后，剩余的图形面积则为，通过对每一个剩余图形面积的叠加可知，++…+=1-。

随着教学改革的推进，一些开放性题目也会越来越多，传统按部就班的解题方法，会让原本充满趣味性和启发性的问题变得刻板、僵化，从而失去了拓宽视野、训练思维的作用与效果。因此，在初中数学教学中，教师应渗透数形结合理念，对这类开放性题目进行适当的引入，以指导学生运用数

形结合的理念进行体验、探索，进而在图形中理解数字，在数字中认识图形，以促使知识的数与形结合起来。

三、以数辅形，精确解题方法

在数形结合中，许多教师注重的是“以形助数”，而忽视了以数辅形，其实，在解决几何问题的过程中，教师利用数量关系能够更加准确、直接地归纳几何图形的特征，并探索图形与数量之间的联系与规律，让图形信息用代数语言表达出来，以突显数与形之间的转化与支持。在初中数学教学中，以数辅形的教学案例主要体现在以下几个方面：

1.在数与式规律探究中的运用

在数学学习中，经常会出现一些给出基本的图形关系，探究某一系列图形变化规律的问题，在解题中，学生不可能将每一个图形画出来，而这时就可以利用“数”的辅助，对图形所代表的式子进行精确，并根据其中的逻辑关系探究规律。

例如：一组有规律的图案，它们由黑白两种颜色的菱形组成，第1个图案中黑色菱形的四个边上分别延伸出4个白色菱形；第2个图案中2个黑色菱形衍生出7个白色菱形；第3个图案中3个黑色菱形衍生出10个白色菱形……依此规律，第n个图案中白色菱形的个数为（用含n的代数式表示）。在找规律的过程中，教师可以引导学生对不同的图形标上序号1，2，3，……n，而白色菱形的个数则为4，4+3，4+3+3，……这样到第n个就可以总结出规律：4+3（n-1），通过这样的图形固定累加，学生能够利用代数式将其中的规律表达出来，从而精确了图形解析效果。

2.在平面几何知识中的运用

初中阶段的平面几何问题除了单纯的证明类之外，还包括求面积、长度等问题，而这些问题的精准解决，则必须要在“数”的辅助下完成，以达到“以数辅形”的目的。只有这样，在数字的辅助下，对几何图形的分析才能更加准确。

例如题目：八个等圆按照相邻两两外切的方式摆放，圆心连线构成一个正八边形，假设正八边形内侧八个扇面的面积之和为S，正八边形外侧八个扇面的面积S，则为（ ）。在这一题目中，直接运用面积公式计算非常麻烦，学生可以根据条件绘制图形，通过对图形的观察可以知道正八边形的内角为135°，八个小圆形均是如此，这样就能够将面积比转化为角度比，即每一个小圆形阴影部分扇形角度为225°，从扇形内角的比例关系可以得出=。这样，在数字的辅助下图形的分析更加准确，看似复杂的问题迎刃而解。

总之，初中阶段的数学教学应该注重对数学思想的渗透。数形结合是最重要的数学思想，在教学指导中，教师一方面要深入分析数形关系，为学生梳理数形结合知识，并深化理念渗透，提高知识理解能力；另一方面还应该结合具体问题，实现以形助数、以数辅形、数形结合的过程，让学生在具体问题中咀嚼、反思数形结合思想，从而迅速提升数学思维。

【参考文献】

[1]林火清.数形结合在初中数学教学中的应用研究[J].课程教育研究，2014（2）

[2]刘艳云.数形结合思想在初中数学教学中的应用探析[J].中学数学，2015（10）

[3]史利荣.数形结合在初中数学教学中的应用策略[J].数学教学研究，2017（6）