数形结合在初中数学教学中的应用探讨

2018-12-21 11:17徐勇
文理导航 2018年29期
关键词:数形结合

徐勇

【摘 要】华罗庚先生曾经说过:“数缺形时少直观,形少数时难入微。”这两句直白浅显的话语,一针见血地指出了在数学知识体系中“数”与“形”的关系,即“数”辅助“形”,“形”解释“数”,数与形的结合不仅让“数”的解释更加直观,也能够让形的表达更加准确。基于此,教师需要结合初中数学教学实际,对数形结合的应用做出相应的探究。

【關键词】以形助数;以数辅形;数形结合

初中阶段是学生思维培养的关键时期,在数学问题中渗透数形结合思想,让初中生打破知识学习过程中的隔阂,在“数”与“形”之间建立沟通与联系,并达到由数思形、见形思数、数形结合的目的。从目前初中数学教学设计来看,虽然教材编排中将数形结合贯彻其中,但应如何把握好数形结合的分寸,如何引导学生自主思考数形结合的有效途径呢?

一、以形助数,简化解题过程

探究数量关系是数学体系中的主要内容,严密的逻辑、抽象的含义往往是阻碍学生理解问题的“绊脚石”。因此,在数形结合理念的指导下,教师应利用恰当的几何图形,对抽象的数量关系进行“翻译”,简化解题过程,进而建构数学知识体系,以帮助学生消化知识。在初中阶段,需要以形助数的知识内容主要包括:

1.有理数知识

在有理数这一章节中引入了“数轴”,在数轴上标出有理数的位置则是实现数形转化最直观的案例。因此,在有理数的讲解中,教师应结合“数轴”知识,帮助学生了解图解方法。

例如题目:在数轴上,A点和B点所表示的数分别为-2和1,若使A点表示的数是B点表示的数的3倍,应将A点如何移动。在题目讲解中,教师可以指导学生直接画出数轴,在数轴中标出A、B两点,根据条件直接观察数轴,可知需要将A点向右移动5个单位,即落在3的位置,保证“A点表示的数是B点表示数的3倍”。

2.不等式知识

初中阶段,学生初次接触不等式,相较于之前学过的确定的方程解,不等式解的范围常常让学生迷惑,这时,教师就可以利用数轴将不等式解的范围画出来,从而降低知识的理解难度。

例如不等式组: 2-x>0

+1≥,求得不等式组的解为-1≤x<2,在数轴上则可以直接描绘出-1到2之间的一段距离。这样,学生不仅可以区别等式方程与不等式方程解之间的含义,还能够根据数轴提示验证不等式解准确与否。

3.方程组知识

在初中阶段,二元一次方程组是学生探究数量关系的重要手段,在数形结合的指导下,教师可以指导学生将方程组中的每一个方程转换成函数,并绘制一次函数图像,并根据两条函数图像的位置关系确定解的个数及其位置关系。

例如题目: 2x+y+1=0

x+2y=0,通过绘制图形发现两条线相交。因此,方程组有一组解,即x=-,y=,这样的数形结合能够让学生深入理解并灵活运用。

4.函数知识

函数问题作为数学体系中最重要,也是最关键的存在,其解题过程必须要依靠图形,换句话说,数形结合在函数问题中得到了最淋漓尽致的体现。只有借助图形的辅助,函数解析式的表达含义才将更趋完整。基于此,在初中数学课堂教学中,教师应结合函数知识对数形结合理念进行系统渗透。

例如题目:某酒店有客房90间,当每间客房定价为140元时,客房能够住满,客房每涨价10元,就会有5间客房空出来,而居住的客房,酒店每天要支付各种费用总计60元,请问,酒店利润与客房涨价之间呈什么关系。在解析这一问题的过程中,教师首先要指导学生根据经验判断二次函数的基本特征,然后利用题目中的数量关系找到两个坐标点,并代入解析函数。

二、数形结合,深化知识理解

数与形之间对立又统一的关系,能够启发学生观察数与式的特征,并在分析数形转换路径的过程中,将抽象知识升华为具体可见的数量关系或图形状态,从而实现数字化或图形化的理解过程,让学生进一步理解以形助数、以数辅形的途径,以达到数与形的真正融合与运用。

例如题目:求的值,在解题中,教师先让学生观察每一个加数的特点,然后指导学生制作面积为1平方米的小正方形,并标上不同的序号,第一次剪去小正方形的一半,正好能够得到,而第二次剪去剩余图形的一半正好是,以此类推,每一次剪去的都是上一次图形的一半,当第n次剪掉图形后,剩余的图形面积则为,通过对每一个剩余图形面积的叠加可知,++…+=1-。

随着教学改革的推进,一些开放性题目也会越来越多,传统按部就班的解题方法,会让原本充满趣味性和启发性的问题变得刻板、僵化,从而失去了拓宽视野、训练思维的作用与效果。因此,在初中数学教学中,教师应渗透数形结合理念,对这类开放性题目进行适当的引入,以指导学生运用数

形结合的理念进行体验、探索,进而在图形中理解数字,在数字中认识图形,以促使知识的数与形结合起来。

三、以数辅形,精确解题方法

在数形结合中,许多教师注重的是“以形助数”,而忽视了以数辅形,其实,在解决几何问题的过程中,教师利用数量关系能够更加准确、直接地归纳几何图形的特征,并探索图形与数量之间的联系与规律,让图形信息用代数语言表达出来,以突显数与形之间的转化与支持。在初中数学教学中,以数辅形的教学案例主要体现在以下几个方面:

1.在数与式规律探究中的运用

在数学学习中,经常会出现一些给出基本的图形关系,探究某一系列图形变化规律的问题,在解题中,学生不可能将每一个图形画出来,而这时就可以利用“数”的辅助,对图形所代表的式子进行精确,并根据其中的逻辑关系探究规律。

例如:一组有规律的图案,它们由黑白两种颜色的菱形组成,第1个图案中黑色菱形的四个边上分别延伸出4个白色菱形;第2个图案中2个黑色菱形衍生出7个白色菱形;第3个图案中3个黑色菱形衍生出10个白色菱形……依此规律,第n个图案中白色菱形的个数为(用含n的代数式表示)。在找规律的过程中,教师可以引导学生对不同的图形标上序号1,2,3,……n,而白色菱形的个数则为4,4+3,4+3+3,……这样到第n个就可以总结出规律:4+3(n-1),通过这样的图形固定累加,学生能够利用代数式将其中的规律表达出来,从而精确了图形解析效果。

2.在平面几何知识中的运用

初中阶段的平面几何问题除了单纯的证明类之外,还包括求面积、长度等问题,而这些问题的精准解决,则必须要在“数”的辅助下完成,以达到“以数辅形”的目的。只有这样,在数字的辅助下,对几何图形的分析才能更加准确。

例如题目:八个等圆按照相邻两两外切的方式摆放,圆心连线构成一个正八边形,假设正八边形内侧八个扇面的面积之和为S,正八边形外侧八个扇面的面积S,则为( )。在这一题目中,直接运用面积公式计算非常麻烦,学生可以根据条件绘制图形,通过对图形的观察可以知道正八边形的内角为135°,八个小圆形均是如此,这样就能够将面积比转化为角度比,即每一个小圆形阴影部分扇形角度为225°,从扇形内角的比例关系可以得出=。这样,在数字的辅助下图形的分析更加准确,看似复杂的问题迎刃而解。

总之,初中阶段的数学教学应该注重对数学思想的渗透。数形结合是最重要的数学思想,在教学指导中,教师一方面要深入分析数形关系,为学生梳理数形结合知识,并深化理念渗透,提高知识理解能力;另一方面还应该结合具体问题,实现以形助数、以数辅形、数形结合的过程,让学生在具体问题中咀嚼、反思数形结合思想,从而迅速提升数学思维。

【参考文献】

[1]林火清.数形结合在初中数学教学中的应用研究[J].课程教育研究,2014(2)

[2]刘艳云.数形结合思想在初中数学教学中的应用探析[J].中学数学,2015(10)

[3]史利荣.数形结合在初中数学教学中的应用策略[J].数学教学研究,2017(6)

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