初中数学实验工具的开发与利用①

赵维坤 董林伟

(1.江苏省盐城市毓龙路实验学校 224001；2. 江苏省中小学教学研究室 210013)

数学实验的工具，是指帮助学生理解数学、发现数学、验证数学的实物类及技术类工具的统称，是学生经历知识形成过程的重要载体. 在教学过程中恰当地使用实验工具，很大程度上可以提高学生参与数学活动的水平，因此教师应努力开发制作简便实用的数学实验工具供学生使用，以拓宽他们的学习领域，培养他们的实践能力，发展其个性品质与创新精神，促进不同的学生在数学上得到不同的发展. 目前，不少学校都建有专门的数学实验室或数学专用教室，但实验所必需的工具和材料不足制约了数学实验的开展. 为此，开发适合的数学实验工具势在必行.

实验工具的开发要紧扣主题，有明确的目的；形式和内容要统一，要利于学生对知识的领悟、本质的理解与方法的掌握；要能激发学生的学习兴趣、调动学生积极性、启发学生数学地思考；要利于促进学生主动参与、积极探索，提升发现和提出问题、分析和解决问题的能力. 同时工具的设计应新颖、实用、精巧，要符合学生生理、心理特点，易于操作、性能稳定、安全可靠、使用便捷、外形美观，要利于将复杂问题简单化，要利于准确体现实验活动的方式、方法和内容.[1]

数学实验工具的开发和利用应基于《义务教育数学课程标准(2011年版)》(以下称《标准》)的核心内容，基于学生的认知特点和水平，满足学生数学核心素养发展的需要. 根据工具的特性和价值取向、学生学习过程的不同阶段，将实验工具分为三类：用于概念形成的工具、用于原理探究的工具与用于拓展应用的工具.

1 用于概念形成的工具开发与利用

数学概念本身具有较强的抽象性，但初中教材中大部分概念采用描述性的方式给出定义. 在教学时，我们发现一些学生对概念的本质属性认识不够，似懂非懂，有时是知其然而不知所以然，这表明学生在学习中并未理解真正意义上的数学概念.[2]对于初中生来说，学生的思维是从具体形象思维逐步向抽象思维过渡，这种过渡在很大程度上还是依靠丰富的感性材料，所以数学概念不是靠教师讲出来的，而是靠学生自己去感悟、体验的. 因此，对于一些相对抽象的概念，开发实验工具，通过对实验工具“直观”的操作，化抽象为形象、化静态为动态、化结果为过程，可以延长学生知识的获取过程，从而抽象出概念的本质属性.

案例1“点动成线、线动成面、面动成体”的理解. 认识“点动成线、线动成面、面动成体”这一几何初步概念时，学生可以通过对“实物”的操作与观察等活动感悟到点、线、面之间的关系. 我们设计了实验工具“线面体形成仪”(如图1)，如果在“线面体形成仪” 上栓上带线的小球，

图1

在转动过程中将小球看作“点”，就看到了“线”；将栓线看成“线”，就看到了“面”；如果换上三角形卡片、四边形卡片、梯形卡片、半圆形卡片等，就看到了“体”. 这样的“操作”，不仅使“点动成线、线动成面、面动面体”水到渠成，而且可使学生依据已有的材料和认知作出符合经验与事实的推测，容易激发学生的探索欲望，同时，也体现了《标准》提出的“内容的呈现应采用不同的表达形式，以满足多样化的学习需要”这一要求.

案例2“函数”概念的理解. 函数是学生在数学学习过程中第一次遇到的一般意义的抽象概念，学生对其理解的困难是不言而喻的. 借助“函数发生器”，可以帮助学生建立函数概念. 从盒子上方开口插入一张卡片，这张卡片自然地从下方的出口滑出后正反面正好调换. 让学生在一组卡片上写上一个数(如1、3、5、7……)，反面相应写上另一个数字(如2、4、6、8……). 学生自己演示函数发生的过程：输入一个数x(如1)，输出一个数y(如2).利用“函数发生器”，既可以帮助学生直观了解函数概念的本质其实是一种对应关系，又可以避免抽象语言带来的理解上的困难.

像这样抽象程度较高的概念、性质还有很多，如无理数、有理数加法法则、二次根式的乘法法则、等可能性、三角形的稳定性、几何体认识、三视图等等，我们可以借助“模型演示尺”“骰子”“方格纸片”“多功能尺组件”“几何体套件”“三视图演示板”等实验工具，学生通过动手操作、动眼观察、动脑思考的实践活动，在自主活动中获取理解概念所需的“事实”，形成对概念本质的深刻体悟，发展了数学抽象与直观想象，从而可获得“如何思考”的智慧.

2 用于原理探究的工具开发与利用

数学的原理是指数学的定理、性质、公式、法则等. 学生获得数学的原理，必须建立在自己思考的基础上，在“一般观念”的引导下，发现数学对象的本质、规律、关系等，形成猜想，并通过数学的运算、推理，证明结论，获得数学的定理、性质、公式、法则等. 数学实验工具为学生“如何研究”“如何发现”提供了可能，使得数学的定理、性质、公式、法则等成为学生自己发现的结果，因此实验工具是数学学习成为学生自己可以掌控过程的必要条件.

案例3二次函数图像间的关系.[3]探索二次函数y=ax2(a≠0)与y=ax2+k(a≠0)图像间的关系时，学生观察自己所画的图像得出结论，难度较大. 如果借助几何画板软件强大的图形处理功能，学生自己操作几何画板、观察动态图形、发现背后的不变规律、提出猜想、检验结论，这样的操作、观察活动必将促成学生的真正理解.

打开几何画板软件，建立平面直角坐标系，在x轴上任取一点A，度量点A的横坐标，改用字母a表示这个横坐标，在y轴上任取一点K，度量点K的纵坐标，改用字母k表示这个纵坐标，画出二次函数y=ax2(a≠0)与y=ax2+k(a≠0)的图像(如图2).

图2

在x轴上任取一点M，过点M作x轴的垂线l，直线l分别交二次函数y=ax2(a≠0)与y=ax2+k(a≠0)的图像于点C、D，度量点C、D的纵坐标，并计算这两个纵坐标的差，移动点M，观察变化.

移动点A、K，改变a、k的值，再移动点M，观察点C、D的纵坐标的差的变化，可以发现二次函数y=ax2(a≠0)与y=ax2+k(a≠0)的图像之间的平移关系.

利用几何画板软件画二次函数y=ax2(a≠0)与y=ax2+k(a≠0)的图像，通过对a、k赋值的改变，动态研究了二次函数y=ax2(a≠0)与y=ax2+k(a≠0)的图像之间的上下平移关系，使得图像变化直观明了，而且还分类研究了各种二次函数的图像，有利于学生通过观察、猜想，归纳出研究的结论，为函数图像及其性质的研究和学习打下直观而扎实的基础. 运用此方法还可研究函数y=ax2(a≠0)与y=a(x-h)2(a≠0)的图像之间的关系及函数y=ax2(a≠0)与y=a(x-h)2+k(a≠0)的图像之间的关系．

类似地，我们可以利用几何画板软件或图形计算器几何学、双变量统计、三角求解器等功能动态探究诸如一次函数、反比例函数、统计、三角函数等问题，使原本似乎枯燥乏味的数学变得形象生动，进而最大程度地调动学生学习的积极性，让学生身临其境地在操作实践中体验学习的快乐，显然这是传统教学方式所无法比拟的.

案例4圆周角定理的探究. 学生在学习“圆周角定理”时会遇到如下困难：为什么要研究圆周角？圆周角是怎么发现的？圆周角定理的证明为什么分为三种情况？是如何想到的？借助由“圆轨道”、“直轨道”、2个定点与2个动点构成的“圆周角探究仪”(如图3)，能使学生体验“圆周角”产生的过程、顺其自然地探索出“圆周角”的性质. 通过“直轨道”上动点的移动，发现顶点在圆外、圆周上与圆内的角始终夹(对着)一条弧，再使动点在“圆轨道”上移动，发现“这个角”始终对着这条弧，从而顶点在圆周上角最为特殊，这就是“圆周角”的本质特征，也能看出“圆周角与圆心角的位置关系与数量关系”、“圆外角、圆周角、圆内角之间的关系”；通过固定一点在“圆轨道”上，将另一动点和“直轨道”一起移动，可以知道为何圆周角定理的证明要分三类进行讨论，还可以发现圆内接四边形对角之间的关系. 学生使用这样的实验工具学习“与圆有关的角”时，认识会更系统、更深刻，兴趣会更浓，印象会更深，真是动手一转，万变皆一，知其然而知其所以然，定理的证明妙手偶得、不言自明，数学好学好玩.

图3

这样的例子还可列举很多，如利用“多面体表面组件”可以探索多面体与其构成的表面间的关系、利用“小立方体套件”可以探索不同组合图形的视图关系、利用“三色球”“骰子”可以感受等可能条件下的概率、利用“四边形探究仪”可以探索特殊四边形间的关系、利用“多功能尺组件”可以探索等腰三角形的“三线合一”与锐角三角函数值的变化规律、利用“勾股定理演示器”可以发现勾股定理、利用“多功能磁钉板”可以发现皮克公式，等等，操作这样的实验工具可以促使学生在“做”的过程中发现数学规律、获得数学结论、体会数学的基本思想和思维方式，学会学习，学会思考，提升推理能力，发展数学思维.

3 用于拓展应用的工具开发与利用

数学的拓展应用是一种用数学的眼光，从数学角度观察、分析、解决问题的积极的心理倾向和思维反应.它是基于对数学拓展应用价值认识的基础上，遇到问题产生用数学知识、方法、思想尝试解决的冲动，并且能很快搜寻到解决问题的方法. 而数学实验工具的物质化特征正好与数学拓展应用意识的客观特征相吻合. 因此，借助数学实验工具的操作解决拓展应用型问题可以发展学生的应用意识，提升学生的创新意识与实践能力.

案例5最小圆覆盖问题.[3]借助圆形透明纸片对线段、三角形等的覆盖，探索最小覆盖圆与线段、三角形之间的关系.

先将如图4的5个透明圆形纸片逐个覆盖在图5中的线段上，我们发现直径大于这条线段长的圆均能覆盖这条线段，但恰好能完全覆盖线段的圆必须是这个圆的直径与线段的长相等，我们将这个圆称为这条线段的最小覆盖圆.

(1) (2) (3) (4) (5)图4

再将这些透明圆形纸片覆盖在图6中的三角形上，分别找出这两个三角形的最小覆盖圆，我们可以探究出它们的最小覆盖圆与这两个三角形的关系.

图5

(1) (2)图6

通过这样的操作活动，可以探究出直角三角形和锐角三角形的最小覆盖圆是该三角形的外接圆，而钝角三角形的最小覆盖圆则是以钝角所对边为直径的圆，进而让学生应用所得到的规律解决如下新的问题：怎样确定矩形的最小覆盖圆等.这样的操作其价值在于将直观的“做”转型为有意识的“用”，对学生数学应用意识的发展大有裨益.

案例6正方体的截面探究. 正方体是生活中最常见的图形，对于初中生来说，学生难理解“正方体被平面所截的截面可能的形状”这个问题. 究其原因，这是一个三维与二维之间的转换问题，这种转换是难以经过大脑的想象来处理，虽然可以用萝卜、橡皮泥制成实物模型代替正方体完成切截，但由于实物模型大小受到限制，给切截操作带来不便，也很难得到五边形、六边形，对实物模型的切截必须用刀操作也存在不安全因素. 借助“水立方”(如图7)，调整其摆放位置，通过观察水面与正方体的面相交的形状，得到正方体的截面可以是三角形、四边形、五边形与六边形，还可以是特殊的四边形等等，同时让学生思考问题：(1)“水立方”为何要做2个？(2)截面可以是七边形吗？

图7

学生通过动手操作、观察与思考，经历截正方体的活动过程，在感受立方体截面的变化中,理解立方体截面的几种情况，自己做了一次学术研究，体会到了在截面变化过程中面与体的转换，发展了几何直观和空间想象能力，丰富了数学活动经验.

类似这样拓展应用的实验工具还有很多，如操作“钟面魔板”可以感受镜面对称的特征，操作“移动‘小路’”可以感受证明的必要性，操作“多边形纸片组件”可以研究密铺所满足的条件问题，操作“测角仪”可以发现测量物体高度的方法，操作“曲线魔板”可以探求圆在不同图形上滚动的圆心路径，操作“放缩尺”可以对一个图形放大或缩小，制作莫比乌斯带可以感受数学的无穷魅力，等等. 具体来说，实验工具为探索并获得结论提供了“可视化”的载体，可以有意识地解释现实世界中的某些现象、解决现实世界中的一些问题、发现新的原理与规律、发现新的数学方法等.

总之，涵盖初中数学核心内容的数学实验工具是课堂教学中具有可操作性的“素材”，可以解决“完善课程内容，加强实践环节”所需要的、与完整的数学学习过程相配套的“资源”问题，可以满足初中数学教与学的需求，符合初中生的数学学习心理，对契合深化课程改革、落实立德树人根本任务的要求，切实转变数学教与学的方式，激发学生的数学学习兴趣、好奇心，调动学生的学习积极性，促使学生多感官参与数学认知活动，获取数学抽象所需的现实材料，形成对数学知识的直接体验等，都有积极意义；同时，对于提升学生的数学素养，引导学生会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界，也将起到积极作用.[4]