例谈数学教学中慢与快的辩证法

郑 瑄 沈吉儿

(1.浙江省宁波市江北区教育局教研室 315020 2.浙江省宁波教育学院 315000)

朱光潜先生在《人生的艺术化》中这样写道：

阿尔卑斯山谷中有一条大汽车路，两旁景物极美，路上插着一个标语劝告游人说：“慢慢走，欣赏啊！”许多人在这车如流水马如龙的世界过活，恰如在阿尔卑斯山谷中乘汽车兜风，匆匆忙忙的急驰而过，无暇一回首流连风景，于是这丰富华丽的世界便成为一个了无生趣的囚牢.这是一件多么可惋惜的事啊！

无独有偶，歌手梁静茹有一首歌，名为《慢慢来，比较快》，歌中唱到：

让葡萄慢慢晕开，酿成芳香再醒来；让时间慢慢晕开，酿成智慧喝起来.

有些事其实急不来.等知了蜕变归来，等蝉声夏夜散开.

慢慢来会比较快.

放空慢慢来，专注比较快；放心慢慢来，别惊动未来.

慢慢来，慢慢比较精彩.

前者是美学境界所在，后者是技艺睿达所致.若能悟道，都是好.

对于数学课堂教学而言，同样有着慢与快的辩证关系.慢一点，才能使学生欣赏到数学世界的如画风景；慢慢来，才能使学生体验到数学思考的真谛，进而插上理性思维、创新思维的翅膀，更快地抵达数学学习的彼岸.

在近期的一次中考复习专题研讨活动中，笔者的亲身实践再一次加深了这样的体悟.

1 教学过程的简要回顾

宁波市自2007年中考开启“新定义”题型的新篇章，如今每年都以“新定义”题为中考压轴题，但这类题目是学生失分的痛点，也是老师教学的难点.因此，笔者以“中考‘新定义’题型的解答”为题，讲授了一节初三中考专题复习课，试图通过本节研究课，引导我区教师研究“新定义”题型的数学本质，明确其考查目的，掌握其教学方法，从而切实提高复习效果.

教学中，笔者首先阐明“新定义”题型在中考中的地位和考查目的，利用下表呈现了宁波市历年来“新定义”题型的相关信息：

年份新定义2007四边形的准等距点:四边形一条对角线所在直线上的点,如果到这条对角线的两端点的距离不相等,但到另一对角线的两个端点的距离相等,则称这点为这个四边形的准等距点.2011奇异三角形:两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形.2012n阶准菱形:邻边不相等的平行四边形纸片,剪去一个菱形,余下一个四边形,称为第一次操作;在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形,又剩下一个四边形,称为第二次操作;……依此类推,若第n次操作余下的四边形是菱形,则称原平行四边形为n阶准菱形.2013和谐四边形:若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形,我们把这条对角线叫这个四边形的和谐线,这个四边形叫做和谐四边形.如菱形就是和谐四边形.2014三角形的三分线:若两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形,我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线.2015智慧角:点P为∠MON的平分线上一点,以P为顶点的角的两边分别与射线OM,ON交于A,B两点,如果∠APB绕点P旋转时始终满足OA·OB=OP2,我们就把∠APB叫做∠MON的智慧角.2016三角形的完美分割线:从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交,顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形,如果分得的两个小三角形中有一个为等腰三角形,另一个与原三角形相似,我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线.2017半对角四边形:有两个内角分别是它们对角的一半的四边形叫做半对角四边形.2018比例三角形:若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积,我们把这个三角形叫做比例三角形.

通过例举分析上述“新定义”的共性，帮助学生梳理出它们的结构特征：赋予几何图形的元素以某种特殊关系而给出“新定义”，再从定义出发，研究这类图形的有关性质与判定，最后利用定义、性质和判定解决有关问题. 这与学生初中三年几何图形学习和研究的途径、方法一脉相承.因此，解答“新定义”问题，就是要调动已有的研究一个几何对象(如相交线和平行线、三角形、平行四边形、圆等)的经验，在理解“新定义”的基础上明确研究对象的本质特征，再利用已学的平面几何知识分析和解决后续的问题.解决此类型题目的关键，一是要切实理解“新定义”的内涵，把握研究对象的本质特征；二是要灵活运用已有数学知识，特别是有关的数学思想方法，创造性地分析和解决问题.新定义重在理解，新研究彰显能力.

在学生对“新定义”题型有了一个宏观认识，建立了适当的“先行组织者”后，笔者再以天津市、北京市2017年的中考“新定义”题为载体，和他们一起展开解答“新定义”题型的探究之旅.

2 发人深省的师生对话

在教学过程中，笔者与学生们的一个对话环节，颇有意味，发人深省，值得反思与考量.

师：同学们，我们刚才完成了第(1)小题，接下来，我们怎么做？

生1：接着做第(2)题.

师：马上做第(2)题吗？

众生：迟疑、环顾……

生2：(沉吟半晌)嗯，难道不是做第(2)题吗？

生3：将第(1)题的答案写下来.

众生：哄笑……

师：哦哦，我这个问题没有问好.

笔者的教学预设是在此师生有一个停顿，做一个检审，使学生体悟具体中蕴含的一般性，为后续的解答铺垫思路，所谓数学本质的探究和通透是也.但是冷场和跑马，使得笔者马上自觉地落到尘埃反省检点，继而收回发问鞠躬抱歉.

章建跃博士在课后点评时说：在教师最初给出“接下来，我们怎么做？”这一问题之时，我知道教师的意图是希望学生回顾一下思考过程，从具体中得到一些一般思路和方法，为解答下面的一般性问题做好准备，但是学生不明就里.这里，不是郑老师的问题没有问好，事实上，她问了一个好问题.但学生之前可能较少受到回顾解题过程、检审思路、归纳问题本质等方面的训练，所以没有养成“反思”的学习习惯.

许多时候，我们为了能让学生多刷几个题目而匆匆疾行，快节奏的过程中少了思维的回旋和反省的余地，最终收获甚微，事倍功半，特别是失却了对数学内在规律的回味、发现和品赏.

3 两则解题教学案例的深度思考

如何让学生感知、感悟、感动于数学教学中慢与快的辩证法？

笔者选择重庆市、北京市2017年中考的“新定义”试题，作为给予学生体悟“慢与快”的教学载体，试图以此说明，教学中应如何把握思维节奏，引导学生在停顿、回望与品赏中，领悟解题的真谛.

3.1 重庆市2017年中考第25题的教学分析

题目：对任意一个三位数n，如果n满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”.将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F(n).例如n=123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213+321+132=666，666÷111=6，所以F(123)=6.

(1)计算：F(243)，F(617).

3.1.1 新定义重在理解

新概念“相异数”中的“异”，即不同，顾名思义，其义自见，学生比较容易忽视的是各位数字都不能为零；而新运算“F(n)”的理解，关键在于对研究对象进行有序地思考. 可以考虑依次先让个位、十位、百位上的数字不变，如此达成不重不漏.F(n)的得到，不是散漫飘忽的找寻，而是逻辑理性的求索，有利于培养良好的思维习惯.

题目条件中给出的“例如n=123,……求得F(123)=6”，旨在用实例来帮助学生更好地理解新定义.但是，教学中发现，其缺陷在于强化了范例的模仿作用，可能会阻碍学生自然探索研究对象本质特性的有效思维.

3.1.2 新研究彰显能力

确实，几乎所有的学生都能模仿完成第(1)题的计算，在诸如F(243)、F(617)的重复计算中，学生们会有些许运算上的失误.当然，也是几乎所有的学生都迫不及待地进入第(2)题的计算.显然，第(2)题，因为有了字母x、y的加入，同时还有s、t、k等参量进来，一时落英缤纷，分类讨论时繁复了许多，学生们出现了更多运算上的失误.

此时，笔者引导学生稍作停顿，再一次回过头来仔细审视此“新定义”.同时建议从代数层面探索F(n)的性质.(事实上，已经有一些学生在此处逗留，并自然地尝试以代数探究.)

假设：此三位数的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，记作n=100a+10b+c.

于是：F(n)=(100a+10c+b+100c+10b+a+100b+10a+c)/111=111(a+b+c)/111=a+b+c.

原来，F(n)就是此三位数每个数位上的数字之和！

那么，(1)F(243)=2+3+4=9，F(617)=6+1+7=14；(2)F(s)=x+6，F(t)=6+y.

后续的问题解决轻捷而顺畅……

等知了蜕变归来，等蝉声夏夜散开.让时间慢慢晕开，酿成智慧喝起来.

有些事其实急不来.慢慢来会比较快.慢慢来，慢慢比较精彩.

当笔者让梁静茹的歌声《慢慢来，比较快》在教室里荡漾传播开来时，师生都会心地笑靥如花了.果然，慢慢来，比较快！

3.2 北京市2017年中考第29题的教学分析

题目：对于平面直角坐标系xOy中的点P和图形M，给出如下的定义：若在图形M上存在一点Q，使得P、Q两点间的距离小于或等于1，则称点P为图形M的关联点.

(1)当⊙O的半径为2时，

②点P在直线y=-x上，若P为⊙O的关联点，求点P的横坐标的取值范围.

(2)⊙C的圆心在x轴上，半径为2，直线y=-x+1与x轴、y轴分别交于点A,B.若线段AB上的所有点都是⊙C的关联点，直接写出圆心C的横坐标的取值范围.

3.2.1 新定义重在理解

笔者以为，学生对“关联点”或有两点疑惑：

其一，问题(1)、(2)中均未出现新定义中的关键词“图形M”，那么图形M是什么？由“⊙O的关联点”及“⊙C的关联点”的语境可知，新定义中的图形M，就是⊙O或⊙C.

简单的说：图形M就是一个圆.

其二，考量点P是否⊙O的关联点，关键在于能否在⊙O上找到一点Q，使得PQ≤1.

以上两个理解上的困难，事实上也是解题的难点所在.言必有据、算必有理，要将细节讲清楚，磨刀不误砍柴工.

图1

图2

3.2.2 新研究彰显能力

问题(1)①的解题经历和体验，正是学生从中可以得到诸多感悟的过程，尤其是对“关联点”性质的发现和研究，将对后续的问题解决提供极大的贡献.如若做了P1做P2，做了P2做P3，只走程序而未走心，那就无法得出“关联点”的本质.渐行渐思、且省且悟，这也是培养学生良好的学习习惯、思维品质和研究意识的契机.因此，仍然需要慢下来，等待奇观出现.

彼时彼刻，教师的功德，在于引导学生慢慢地、自然地、由衷地生发疑问：⊙O的关联点都在哪里？具有何种特性？这是对研究对象本质属性的追问，由此才能在解题中游刃有余.

Ok！圆环！学生通过独立思考、合作交流，终于提出：⊙O的关联点是以原点O为圆心，1、3为半径的圆环.精彩的发现.

仍然要将细节讲清楚：圆环(what)？为什么是圆环(why)？怎么想到是圆环(how)？数学教育家傅种孙先生的“然，所以然，何由以知其所以然？”是数学教师的教学准则.

好，现在，混沌世界已被澄明.(1)②中的点P在直线y=-x上，若P为⊙O的关联点，则点P必是直线y=-x落在圆环内的部分，即为线段GH、线段KT两端点的横坐标范围(见图2).

第(2)题，虽然⊙C的圆心在x轴上运动，但是由适才得到的研究对象关联点的性质可知，⊙C的关联点仍然是以点C为圆心，1、3为半径的圆环.要使定线段AB上的所有点都是⊙C的关联点，只要让线段AB落在圆环内部(包括边界)即可.

现在,学生清晰地看到，之前放慢解题的节奏和脚步，停顿、检审、研究而获得研究对象的性质，正适用于问题各种变式的解决，所谓万变不离其宗.看似减速，实质提速.

不妨再作停顿，继续思考一个值得关注的细节：当圆环沿着x轴从左往右运动时，哪些特殊位置恰好是线段AB落在圆环中的时刻呢？

直观地确定、简便地操作、严谨地计算是圆满解决此问题的要点.

有图有真相，无图靠想象.想象的结果是图3中的“相切”状态，学生会想当然地只考虑线段两端点的情形.因而辅之以图形，利用数形结合，恰能使得所有的状态清晰明了、达成精致.图3所示的四个位置，正是满足条件的四种特殊状态.

图3

但是，怎样才能简便地操作？圆环沿着x轴从左向右运动，那是一个说法，真正操作的层面，必将有画图的繁琐，怎么办？逆向的思路和方法是，圆动不如线动.圆环不动，而将线段AB沿着x轴从右往左运动，于是四个关键性的状态明晰如斯(如图4).

不断地回味和反思，优化解题思路，积累数学基本活动经验，培养数学思维品质.

图4

4 感悟

通常，人们的感觉“快”总比“慢”好. 前者充满着激情和褒义；而后者似乎是懈怠与落后的象征. 事实上，快与慢是一对矛盾的两个方面，我们需要辩证地去看待和理解. 《论语·子路》中记载：“无欲速，无见小利. 欲速则不达，见小利则大事不成.”其中“欲速则不达”就是指：一味的性急求快，反而不能达到预期的目的. 孔子的这句话揭示了快与慢的辩证法.中国古成语中的“磨刀不误砍柴工”，当有此意.世间之事如此，数学课堂教学亦然.

数学学习和研究、数学教育和教学，没有解题万万不能，但是仅有解题远远不够.

章建跃博士真诚倡导：数学教师当示以学生思维之道！以“例题讲解 + 模仿练习”的方式让学生不断“重复着昨天的故事”， 其结果是让学生

作了大量的无用功，不仅事倍功半，而且严重影响学生学习数学的兴趣和自信心，挫伤他们的数学学习积极性，发展学生的核心素养也就成了一句空话.

于教师而言，题目如何能讲得完？！于学生而言，题目又如何能做得尽？！

重要的是：能在若干问题解决的历经、品析、反思、感悟过程中，得到灵动的习得和深刻的启迪. 其中，反思和感悟是一个慢慢参悟、内化、修炼、得道的过程，从而得以专于术、诚于道、游于艺，达至乘物以游心之境，领略欣赏数学之美.正如哲人所说：“慢些，我们就会更快.”

想起王国维《人间词话》中有言：“诗人对宇宙人生，须入乎其内，又须出乎其外.入乎其内，故能写之；出乎其外，故能观之.入乎其内，故有生气；出乎其外，故有高致.”文理之间居然是如此的相通.

最后，还是引用朱光潜先生在《人生的艺术化》中的文字：朋友，在告别之前，我采用阿尔卑斯山路上的标语，在中国人告别习用语之下加上三个字奉赠：“慢慢走，欣赏啊！”