变中抓不变 突破含参问题

颜丽芳

中图分类号：G633.6 文献标识码：B 文章编号：1672-1578（2018）34-0183-02

随着中考改革的不断深化，杭州市近年数学中考整体难度下降明显，重基础、重思想方法得到了较好的体现，特别是每年的第22题含有参数的二次函数已经成为杭州市数学中考的一大特色，此类题目考查的本质是函数的图象和性质，教学中需要让学生明确：掌握图像变化的不变性，结合对称轴和开口方向是解决问题的关键。

一、考题分析

1.【2016年杭州中考第22题】

在同一平面直角坐标系中，已知函数y1=ax2+bx，y2=ax+b（ab≠0）.

（1）若函数y1的图象过点（﹣1，0），函数y2的图象过点（1，2），求a，b的值.

（2）若函数y2的图象经过y1的顶点.

①求证：2a+b=0；

②当1

【解答】解：（1）由题意得：0=a-b2=a+b ，解得：a=1b=1 ，

（2）①证明：∵函数y1的顶点为（-b2a ，-b24a ），∴-b24a =a（-b2a ）+b，即b=-b22a ，∵ab≠0，∴﹣b=2a，∴2a+b=0.

②方法一（作差法）：

∵b=﹣2a，∴y1=ax2﹣2ax=ax（x﹣2），y2=ax﹣2a，

∴y1﹣y2=a（x﹣2）（x﹣1）.∵1

∴x﹣2<0，x﹣1>0，∴（x﹣2）（x﹣1）<0.

当a>0时，a（x﹣2）（x﹣1）<0，y1

当a<0时，a（x﹣2）（x﹣1）>0，y1>y2.

方法二（图象法）：求解方程两个函数的交点坐标为（1，-a），（2，0），近似图象根据a的正负作出：

【立意】这是一道函数综合题，考查的知识点有：用待定系数法建立方程组并求解，公式变形，二次函数图像的顶点，以及增减的性质；考查的能力有：运算与推理能力、观察和作图能力；考查的思想方法有：转化、分类讨论、数形结合。

2.【2017年杭州中考第22题】

在平面直角坐标系中，设二次函数y1=（x+a）（x﹣a﹣1），其中a≠0.

（1）若函数y1的图象过点（1，﹣2），求函数y1的表达式；

（2）若一次函数y2=ax+b的图象与二次函数y1的图象都經过x轴上同一点，求实数a，b满足的关系式；

（3）已知点P（x0，m）和Q（1，n）在函数y1的图象上，若m

【解答】解：（1）把点（1，﹣2）代入y1=（x+a）（x﹣a﹣1），得a1=﹣2，a2=1，∴y1 =x2﹣x﹣2；

（2）令y1=0，解得x1=﹣a，x2=a+1，∴y1的图象与x轴的交点是（﹣a，0），（a+1，0），当y2=ax+b经过点（﹣a，0）时，﹣a2+b=0，即b=a2；当y2=ax+b经过点（a+1，0）时，a2+a+b=0，即b=﹣a2﹣a；

（3）解法一（图象法）：抛物线的开口向上，对称轴为直线x=12 ，当x≤12 时，y随x的增大而减小，（1，m）与（0，n）关于对称轴对称，由m

解法二（作差法）：m=x20-x0-a2-a，n=-a2-a

∴m-n= x20-x0= x0 （x0-1） <0， ∴0

【立意】本题是围绕二次函数坐标点的特征扩展，考查的知识点有：用待定系数法求函数表达式、函数与坐标轴交点坐标、以及二次函数图象增减；考查的能力有：运算能力、观察和作图能力；考查的思想方法有：转化、分类讨论、数形结合。

3.【2018年杭州中考第22题】

设二次函数y=ax2+bx﹣（a+b）（a，b是常数，a≠0）.

（1）判断函数图象与x轴的交点个数，并说明理由.

（2）若该函数图象过点A（﹣1，4），B（0，﹣1），C（1，1）三个点中的两个，求二次函数的表达式.

（3）若a+b<0，点P（2，m）（m>0）在该二次函数图象上，求证：a>0.

【解答】解：（1）由题意△=b2﹣4oa[﹣（a+b）]=b2+4ab+4a2=（2a+b）2≥0，∴当2a+b=0时，函数图象与x轴的交点的个数为一个；当2a+b≠0时，函数图象与x轴有两个交点.

（2）当x=1时，y=a+b﹣（a+b）=0，∴抛物线不经过点C

把点A（﹣1，4），B（0，﹣1）分别代入得4=a-b-（a+b）-1=-（a+b） 解得 a=3b=-2

∴抛物线表达式为y=3x2﹣2x﹣1.

（3）解法一（作差法）：当x=2时，m=4a+2b﹣（a+b）=3a+b>0①

∵a+b<0②，①-②得：2a>0，∴a>0.

解法二（图象法）：函数过点（1，0），

（0，-a-b），（2，m），其中-a-b>0， m>0，

画出大致图象得a>0

【立意】本题所考查的知识点有：用待定系数法求二次函数表达式、函数与x轴的交点、以及二次函数图象与性质；考查的能力有：运算与推理能力、观察和作图能力；考查的思想方法有：转化、数形结合等。

二、试题点评

此三道含参函数题目类型相同，题目都是从三个层面显性展开：首先，给定一个或两个特殊点（由参数的个数决定）用待定系数法求参数的特值或者函数表达式；其次增加一个一般性的条件得出一般性结论；最后求在给定的区间内变量的取值范围或比较大小。考查的知识点主要是抛物线与x轴的交点，以及图象上点的坐标与方程（或者不等式）之间的关系。解题方法也比较常规，特别是第三小题，都可以选择用作差法比较大小或者用图象法比较，难度不大。学生在解题中造成思维停滞的主要原因是无法理解参数对图象的“决定性”牵制。初中阶段，含参函数问题一般是通过坐标点建立方程（组）或不等式进行解题，当然，利用图象往往会让答案更一目了然。

三、教学建议

含参问题作为近年杭州市数学中考的必考题，老师们花了大量的时间去研究，但从最后的考试成绩来看并不理想，以笔者参加2018年中考第22题的阅卷为例，本题相对往年难度下降不少，直接根据题目要求代入条件计算即可，但学生的得分率也只有0.48，根据阅卷情况，在平时教学中笔者提出如下建议。

1.注重基础知识，加强计算能力。

良好的计算能力是学好数学的前提，笔者在阅卷过程中发现：系数符号不清、去括号错误、合并同类项系数出错、待定系数出错、解方程出错等等，如此多的计算错误令阅卷老师吃惊。函数问题涉及方程与不等式的计算，归根到底就是代数式中的项与系数的概念、代数式的化简，因此，在七年级开始学习数与式时就必须要让学生理解算理，熟练算法。

2.注重通性通法，提高解题能力。

在“通性通法”中，“通性”就是概念反映的数学基本性质；“通法”就是概念所蕴含的思想方法。

进入复习阶段的数学教学主要是解题教学，解题教学的目标是巩固概念、学会思考、培养良好的解题习惯、发展分析问题和解决问题的能力。在实际解题教学中，很多教师对解题技巧和数学思想方法的认识不清，受技巧之“巧”的诱惑，把注意力放在“题型+技巧”上，而忽视了通性通法，长期以往，学生忘记了解题的根本，没有学会最基本的数学思考方法，导致中考数学的失败。

3.研究考纲课本，提高复习效率。

《杭州市初中毕业升学文化考试命题实施细则》（2018年）中对知识技能、过程与方法的掌握程度的要求从高到低分为三个层次，用“了解·经历”、“理解·体验”、“运用·探索”来界定，并依次用a、b、c表示。函数部分的考试内容第6条（结合对函数关系的分析，对变量的变化情况进行初步讨论）考试要求为c、第10条（二次函数的意义、表达式、图象和性质）考试要求为c。

根据考纲要求，含参的函数问题可以说是最好的考查载体，因此本模块内容的教学显得尤为重要，以笔者设计的二次函数复习课为例。附：二次函数（含参专题）复习教学设计

（一）课堂前测：

1.已知y=ax2+bx+c的图像上的部分点的坐标坐标如下：

x…﹣3﹣2﹣101…

y…﹣60466…

根据表格，下列说法正确的有。

①抛物线与x轴的一个交点为（﹣2，0）；②抛物线与y轴的交点为（0，6）；③抛物线的对称轴是直线x=12；④抛物线与x轴的另一个交点为（3，0）；⑤在对称轴左侧，y随x增大而减少.

2.已知抛物线y=-（x-h）2+2，当x≤3时，y随x的增大而增大，则h的取值范围是.

（二）例题讲解。

已知关于x的函数y=x2+2kx+k2-1（k为实数）

（1）根据这个表达式，你能得到哪些结论？

（2）對于任何负实数k，当x

（三）巩固提升。

已知关于x的函数y=kx2+（2k-1）x-2（k为常数）

（1）求证：不论k取什么值，此函数一定经过（-2，0）；

（2）当x>0时， y随x的增大而减小，求k的取值范围；

（3）试问该函数是否存在最小值-3？若存在，请求出此时k；若不存在，请说明理由.

（4）当x≤-1时，函数有最小值为-3，求k的值.

（四）课后练习。

1.已知二次函数y=ax2+c（a≠0），当x分别取x1、x2（x1≠x2）时，函数值相等，则当x=x1+x2时，y等于

2.若直线x=1是抛物线函数y=ax2+bx+c（a，b，c是实数，且a<0）的对称轴，则（ ）

A.若m>1，则（m﹣1）a+b>0

B.若m>1，则（m﹣1）a+b<0

C.若m<1，则（m﹣1）a+b>0

D.若m<1，则（m﹣1）a+b<0

3.已知关于x的函数y=kx2+2kx-2c（k≠0）

（1）点P在函数图象上，其中P1（1，h1），P2（-3，h2）为P点运动所经过的两个位置，比较h1，h2的大小；

（2）点M（m， h1）和Q（3，h2 ）在函数图象上，且h1> h2，求m的取值范围；

（3）点N（m，h）为图象上点，当-4≤m≤1时，h的取值范围为-4≤h≤1，求函数的表达式.

笔者认为，参数问题的教学应始终围绕函数的表达式、图象与性质展开，让学生理解“参数”对函数图象的“决定性”牵制，能够“化动为静”，作出大致图象，找出其中不变的性质。数学解题教学，在巩固概念的同时，学生应掌握必要的数学思想方法和数学规律，找到问题的数学本质，提升数学素养。

参考文献：

[1] 《杭州市初中毕业升学文化考试命题实施细则》，2018年.

[2] 《注重通性通法才是好数学教学》，章建跃数学教育随想录，浙江教育出版社，2017年6月.