多讲点生活中通俗的数学故事

李凌

田忌赛马的故事广为流传。战国时期齐威王与大将田忌赛马，二者各有三匹好马：上马，中马与下马。比赛分三次进行，由于两者的马力相差无几，而齐威王的马分别比田忌的相应等级的马要好，所以一般人都以为田忌必輸无疑。但是田忌采纳了门客孙膑的意见，分别用自己的下马、上马、中马，对齐威王的上马、中马、下马，结果田忌以2比1胜齐威王。这是我国古代运用对策论思想解决问题的一个范例。这则故事叙事简洁，寓意深刻，学生从中能很容易领悟到的是：遇事不能蛮干，要善于思考，不同的策略可能会导致截然相反的结果！

“鸡兔同笼”是我国古代着名趣题之一。大约在1500年前，《孙子算经》就记载了这个有趣的问题：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？

解答思路是这样的：一、假如鸡和兔同有四条腿，则应有140条腿，相比94多了46条腿，每2条腿对应一只鸡，则鸡的数量为23，兔为22。二、反过来假设兔同鸡一样为2条腿，则腿总数为70，相比94少了24条腿，每2条腿对应一只兔，则兔的数量为22，鸡为23。三、假如砍去每只鸡、兔一半的脚，则每只鸡就变成了“独角鸡”，每只兔就变成了“双脚兔”。这样鸡和兔的脚的总数就由94只变成了47只，而此时笼子里每多一只兔子，则脚的总数就比头的总数多1。因此，脚的总数47与头的总数35的差，就是兔子的只数22，鸡的只数为23。这一“砍足法”思维方法叫化归法。化归法就是在解决问题时，先不对问题采取直接的分析，而是将题中的条件或问题进行变形，使之转化，直到最终把它归成某个已经解决的问题。

数学中的悖论有趣而发人深省。如著名的“理发师悖论”：某理发师约定只为不自己刮脸的人刮脸，不为自己刮脸的人刮脸。乍一看清晰明了，没啥问题，但当第二天一早理发师自己为自己刮脸时问题来了：他若为自己刮脸，那他是个“自己刮脸的人”，按照约定他不应当为这类人刮脸；他若不为自己刮脸，那他是个“不自己刮脸的人”，按照约定他应当为这类人刮脸。结果是他刮不刮脸都违反了自己的约定。

古希腊的学者曾经提出一个著名的“龟兔赛跑悖论”：乌龟先爬了一段在A1点，兔子在起点B点。兔子想要追上乌龟，就必须到达乌龟开始所在的点A1。但当兔子到达A1点时，乌龟又爬了一段到达A2点（它们之间的相对距离减小了）。然后兔子又必须追赶到达A2点，可是此时乌龟又到达A3点（它们之间相对距离继续缩小）。兔子想追上乌龟必须到达A3点，可是乌龟已经爬到A4点……这样下去，兔子和乌龟之间的距离会越来越小，一直跑下去，兔子和乌龟之间的距离会达到无穷小，但兔子无论如何也追不上乌龟----但这明显违背生活常识。数学史上把贝克莱的问题称之为“贝克莱悖论”，这一“龟兔赛跑悖论”实际上属于“贝克莱悖论”的不同表述形式。笼统地说，贝克莱悖论可以表述为“无穷小量究竟是否为0”的问题：就无穷小量在当时实际应用而言，它必须既是0，又不是0。但从形式逻辑而言，这无疑是一个矛盾。有趣的悖论能有效引发学生思考问题，提高学习效率。

（作者单位：无锡机电高等职业技术学校）