一个数论函数均值的递归算法

顾江民

(浙江广厦建设职业技术学院 信息与控制工程学院,浙江 东阳 322100)

著名数学家美籍罗马尼亚人Florentin Smarandache在《只有问题,没有解答!》一书中提出了105个关于数论函数和序列的问题和猜想,其中第21个问题是“研究十进制中数字之和数列的性质”[1],其内容主要是对这个数论均值的一些特殊情形进行了研究[2-8],本文作为这一问题的一般化，给出了n进制数字之和函数的m次均值计算递推公式Am(nk).

定义设n≥2为一给定的正整数，对任一正整数p，假定p在n进制中表示式P=a1nk1+a2nk2+…+asnks(k≥k1>k2>…>ks,1ain-1,ki∈N,i=1,2,…,s),记a(p)=a1+a2+…+as，称为函数a(p)在n进制中的m次均值.

1 主要结论

定理记Am=Am(nk)，则Am的递归函数为

(1)

推论2 特别地当n=2时，Am(2k)的递归函数

A0(2k)=2k,Am(2k)=k[Am-1(2k)-Am-1(2k-1)].

推论3 若等幂和Sm=1m+2m+…+nm，则Sm的递归函数为

(2)

2 三个引理

引理1 Bernoulli数Bn的生成函数为

(3)

(4)

(5)

3 定理的证明

由引理3的(5)式知

A0=A0(nk)=G(0)=nk,

对(5)式求导得

=kln(enx-1)-kln(ex-1).

对R(x)求导得

根据引理1的(3)式可得

因为R(0)=lnG(0)=klnn，所以

应用引理2的(4)式得

由此定理得证.当k=1时，n+1代替n，可得推论3成立.

4 MATHEMATIC实施

以上结论可在mathematic软件上实施，过程截图如图1所示：

图1 递归算法的mathematics程序

5 结 论

本文引理3表达了n进制数字之和函数的m次均值Am(nk)的生成函数，形式简便.采用引理2得到均值计算递归公式，用递归方法很容易得到低次的均值计算公式，对相关的理论研究也有帮助，如推论3等幂和的递归关系有待进一步研究.