不可约单项式理想乘积的Castelnuovo-Mumford正则度*

宋娟娟，高玉彬

(陕西师范大学数学与信息科学学院, 西安 710062)

reg(M)是一类重要的衡量M的复杂程度的不变量[1], 得到它的上界是引人关注的问题。 对S的一个齐次理想I,IM的极小齐次生成元的最大次数不超过I和M的相应极小齐次生成元的最大次数之和, 所以研究reg(IM)≤reg(I)+reg(M)是否成立是一个自然的问题。 当dim(S/I)≤1时,Conca和Herzog[2]证明reg(IM)≤reg(I)+reg(M).Sturmfels[3]给出一个单项式理想I, 满足reg(I2)>2reg(I)。进一步限制理想I的范围, Conca和Herzog[2]提出这样一个问题: 当I1,…,Id都是完全交单项式理想时,

reg(I1,…,Id)≤reg(I1)+…+reg(Id)

(1)

是否对任意的d≥1都成立? 当d=2时, Chardin等[4]证明了这一问题的正确性; 当d≥3时, 这一问题至今没有得到解决。 当d=3且I1,I2和I3都是由单个不定元的方幂生成的完全交理想时, Gao[5]证明了结论的正确性。 当I是一个完全交且n≥1时,Tang和Gong[6]最近证明reg(In)≤nreg(I)。在本文中，对4个不可约单项式理想(由不定元的方幂生成的完全交理想)I,J,K和L, 证明

reg(IJKL)≤reg(I)+reg(J)+

reg(K)+reg(L).

1 本研究的主要工具

本研究工作所用的主要工具[5]如下。

引理1.1设0→N→M→P→0是一个有限生成的分次S-模的一个短正合列, 则

(i)reg(M)≤max{reg(N),reg(P)}.

(ii)reg(P)≤max{reg(M),reg(N)-1}.

(iii)reg(N)≤max{reg(M),reg(P)+1}.

(iv)reg(P)=reg(M),如果reg(N)

(v)reg(P)=reg(N)-1,如果reg(M)

引理1.2设x是一个线性形式，I是S的一个齐次理想, 则对所有的n≥1,

reg(I)≤max{reg(I,xn),reg(I:xn)+n}.

引理1.3设u是一个次数为d的齐次多项式，I是齐次理想且u是S/I-正则的，那么

reg(I,u)=reg(I)+d-1.

下面的引理1.4和引理1.5分别对应Gao[5]中的引理3.1和定理3.2，为便于引用，将其列出。

引理1.4设I,J,K是域k上多元多项式环S中的3个不可约单项式理想, 则

reg((IJ,IK,JK))≤reg(I)+

reg(J)+reg(K)-1.

引理1.5设I,J,K是域k上多元多项式环S中的3个不可约单项式理想, 则

reg(IJK)≤reg(I)+reg(J)+reg(K).

2 主要结果

引理2.1设I,J,K,L是域k上多元多项式环S中的4个不可约单项式理想, 则

reg((IJ,IK,IL,JK,JL,KL))

≤reg(I)+reg(J)+reg(K)+reg(L)-2.证明对l1+l2+l3+l4用归纳法, 这里l1,l2,l3,l4分别是I,J,K和L的最小的单项式生成元的基数。

如果l1=l2=l3=l4=1,设I=(xl),J=(ym),K=(zn),L=(ws),l≥m≥n≥s且x,y,z,w两两不相等, 则(IJ,IK,IL,JK,JL,KL)=(xlym,xlzn,xlws,ymzn,ymws,znws).

根据引理1.2, 引理1.3及Gao[5]的引理3.1和Herzog[7]的推论3.2,有

reg((IJ,IK,IL,JK,JL,KL))

≤max{reg((xlym,xlzn,ymzn,ws)),reg((xl,ym,

zn))+s}.

reg((xlym,xlzn,ymzn,ws))

≤reg(xl)+reg(ym)+reg(zn)+s-2

=reg(I)+reg(J)+reg(K)+reg(L)-2.

reg((xl,ym,zn))+s

≤reg(xl)+reg(ym)+reg(zn)+s-2

=reg(I)+reg(J)+reg(K)+reg(L)-2.

当x=y,x=y=z,x=y=z=w时可以用相同的方法证明有相同的结论, 因此在这种情况下结论成立。

如果I=(I1,xm)并且x是S/I1,S/J,S/K,S/L的非零因子, 也就是x的任何方幂都不在I1,J,K,L的最小单项式生成元中。 则

(IJ,IK,IL,JK,JL,KL)

=(I1,xm)J+(I1,xm)K+(I1,xm)L+JK+JL+KL

=I1J+I1K+I1L+JK+JL+KL+xmJ+xmK+xmL. 根据引理1.2,有

reg((IJ,IK,IL,JK,JL,KL))

≤max{reg((IJ,IK,IL,JK,JL,KL,xm)),

reg((IJ,IK,IL,JK,JL,KL):xm)+m}

=max{reg((I1J,I1K,I1L,JK,JL,KL,xm)),

reg((J,K,L))+m}.

注意到x是S/(I1J,I1K,I1L,JK,JL,KL)-正则的, 根据引理1.3和归纳假设,有

reg((I1J,I1K,I1L,JK,JL,KL,xm))

=reg((I1J,I1K,I1L,JK,JL,KL))+m-1

≤reg(I1)+reg(J)+reg(K)+reg(L)+m-3

=reg(I)+reg(J)+reg(K)+reg(L)-2.

上式成立是因为reg(I)=reg(I1)+m-1.根据Herzog[7]的推论3.2, 有

reg((J,K,L))+m≤reg(J)+

reg(K)+reg(L)+m-2.

因此在这种情况下结论成立。

如果I=(I1,xm),J=(J1,xn),m≥n≥1且x是S/K,S/L-正则的。则

(IJ,IK,IL,JK,JL,KL)=(I1,xm)(J1,xn)+

(I1,xm)K+(I1,xm)L+(J1,xn)K+(J1,xn)L+KL

=I1J1+I1K+I1L+J1K+J1L+KL+xnI1+

xmJ1+xnK+xnL+xm+n.

根据引理1.2,有

reg((IJ,IK,IL,JK,JL,KL))

≤max{reg((I1J1,I1K,I1L,J1K,J1L,KL,xnI1,

xnK,xnL,xm)),reg((I1,J1,K,L,xn))+m}

≤max{reg((I1J1,I1K,I1L,J1K,J1L,KL,xn)),

reg((I1,K,L,xm-n))+n,reg((I1,J1,K,L,xn))+m}.

根据归纳假设和Herzog[7]的推论3.2,有

reg((I1J1,I1K,I1L,J1K,J1L,KL,xn))

≤reg(I1)+reg(J)+reg(K)+reg(L)-2.

reg((I1,K,L,xm-n))+n

≤reg(I)+reg(K)+reg(L)-2.

reg((I1,J1,K,L,xn))+m

≤reg(I)+reg(J)+reg(K)+reg(L)-2.

上面式子的成立是因为reg(I)=reg(I1)+m-1和reg(J)=reg(J1)+n-1.

因此在这种情况下结论是成立的。

如果I=(I1,xm),J=(J1,xn),K=(K1,xs),并且m≥n≥s≥1. 则有

(IJ,IK,IL,JK,JL,KL)

=(I1J1,I1K1,I1L,J1K1,J1L,K1L,xsI1,xsJ1,xnK1,xsL,xn+s).

根据引理1.2,有

reg((IJ,IK,IL,JK,JL,KL))

≤max{reg((I1J1,I1K1,I1L,J1K1,J1L,K1L,xsI1,

xsJ1,xsL,xn)),reg((I1,J1,K1,L,xs))+n}

≤max{reg((I1J1,I1K1,I1L,J1K1,J1L,K1L,xs)),

reg((I1,J1,L,xn-s))+s,reg((I1,J1,K1,L,xs))+n}.

根据归纳假设和引理1.3以及Herzog[7]的推论3.2,有

reg((I1J1,I1K1,I1L,J1K1,J1L,K1L,xs))

≤reg(I1)+reg(J1)+reg(K1)+reg(L)+s-3

=reg(I1)+reg(J1)+reg(K)+reg(L)-2.

reg((I1,J1,L,xn-s))+s

≤reg(I1)+reg(J)+reg(L)-2.

reg((I1,J1,K1,L,xs))+n

≤reg(I1)+reg(J)+reg(K)+reg(L)-2.

因此在这种情况下结论是成立的。

如果I=(I1,xm),J=(J1,xn),K=(K1,xs),L=(L1,xz)且m≥n≥s≥z≥1. 则有

(IJ,IK,IL,JK,JL,KL)=(I1J1,I1K1,I1L1,J1K1,

J1L1,K1L1,xzI1,xzJ1,xzK1,xsL1,xs+z).

根据引理1.2,有

reg((IJ,IK,IL,JK,JL,KL))

≤max{reg((I1J1,I1K1,I1L1,J1K1,J1L1,K1L1,xzI1,

xzJ1,xzK1,xs)),reg((I1,J1,K1,L1,xz))+s}

≤max{reg((I1J1,I1K1,I1L1,J1K1,J1L1,K1L1,xz)),

reg((I1,J1,K1,xs-z))+z,reg((I1,J1,K1,L1,xz))+s}.

根据归纳假设和引理1.3以及Herzog[7]的推论3.2,有

reg((I1J1,I1K1,I1L1,J1K1,J1L1,K1L1,xz))

≤reg(I1)+reg(J1)+reg(K1)+reg(L1)+z-3

=reg(I1)+reg(J1)+reg(K1)+reg(L)-2.

reg((I1,J1,K1,xs-z))+z

≤reg(I1)+reg(J1)+reg(K)-2.

reg((I1,J1,K1,L1,xz))+s

≤reg(I1)+reg(J1)+reg(K)+reg(L)-2.

因此在这种情况下结论是成立的。

综上，证明了当I,J,K,L是S中的4个不可约单项式理想时, 结论是成立的。

推论2.1设I,J,K,L是域k上多元多项式环S中的4个不可约单项式理想, 利用证明引理2.1 的方法, 可以证明

reg((IJ,IK,IL,JK,JL))

≤reg(I)+reg(J)+reg(K)+reg(L)-2.

reg((IJ,IK,IL,JK))

≤reg(I)+reg(J)+reg(K)+reg(L)-1.

reg((IJK,IJL,IKL,JKL))

≤reg(I)+reg(J)+reg(K)+reg(L)-1.

reg((IJ,IKL,JKL))

≤reg(I)+reg(J)+reg(K)+reg(L)-1.

reg((IJ,IK,JKL))

≤reg(I)+reg(J)+reg(K)+reg(L)-1.

reg((IJ,IK,IL,JKL))

≤reg(I)+reg(J)+reg(K)+reg(L)-1.

reg((IJL,IKL,JKL))

≤reg(I)+reg(J)+reg(K)+reg(L)-1.

reg((IL,JKL))

≤reg(I)+reg(J)+reg(K)+reg(L)-1.

reg((IJK,IJL,IKL))

≤reg(I)+reg(J)+reg(K)+reg(L)-1.

注意: 类似(IJ,IK,IL,JK,JL)的其他几种情况, 即形如(IK,IL,JK,JL,KL), 也满足上面的不等式。

定理2.1设I,J,K,L是域k上多元多项式环S中的4个不可约单项式理想, 则

reg(IJKL)≤reg(I)+reg(J)+reg(K)+reg(L).

证明关于l1+l2+l3+l4用归纳法, 这里l1,l2,l3,l4分别是I,J,K,L的最小的单项式生成元的基数。如果l1=l2=l3=l4=1,则定理的证明是显然的。因为

reg(IJKL)=reg(I)+reg(J)+reg(K)+reg(L).

如果S的一个变量x只出现在I的最小的单项式生成元中, 而没有出现在J,K和L的最小的单项式生成元中。 设I=(I1,xm),m≥1并且x是S/I1-正则的。 则IJKL=I1JKL+xmJKL并且xm是S/I1JKL-正则的。 根据引理1.2和引理1.3。

reg(IJKL)≤max{reg((I1JKL,xm)),

reg((I1JKL,xmJKL):xm)+m}

=max{reg(I1JKL)+m-1,reg(JKL)+m}.

根据归纳假设，有

reg(I1JKL)+m-1

≤reg(I1)+reg(J)+reg(K)+reg(L)+m-1

=reg(I)+reg(J)+reg(K)+reg(L).

根据Gao[5]的定理3.2, 有

reg(JKL)+m≤reg(J)+reg(K)+reg(L)+m

≤reg(I)+reg(J)+reg(K)+reg(L).

因此定理的结论在这种情况下是成立的。

如果S的一个变量x出现在I和J的最小的单项式生成元中, 而没有出现在K和L的最小的单项式生成元中。 设I=(I1,xm),J=(J1,xn)且m≥n。 则IJKL=I1J1KL+xnI1KL+xmJ1KL+xm+nKL。

根据引理1.2

reg(IJKL)

≤max{reg((IJKL,xm)),reg((IJKL:xm))+m}

=max{reg((I1J1KL,xnI1KL,xm)),

reg((I1KL,J1KL,xnKL))+m}.

则上面最后一行的两个式子可以分写成

reg((I1J1KL,xnI1KL,xm))

≤max{reg((I1J1KL,xn)),reg((I1KL,xm-n))+n}.

reg((I1KL,J1KL,xnKL))+m

≤max{reg((I1KL,J1KL,xn))+m,reg(KL)+m+n}.

根据归纳假设, Gao[5]的定理3.2和x的确没有出现在I1,J1,K,L的最小的单项式生成元中。 有

reg((I1J1KL,xn))

≤reg(I1)+reg(J1)+reg(K)+reg(L)+n-1

=reg(I1)+reg(J)+reg(K)+reg(L).

reg((I1KL,xm-n))+n

=reg(I1KL)+m-1

≤reg(I1)+reg(K)+reg(L)+m-1

=reg(I)+reg(K)+reg(L).

reg(KL)+m+n≤reg(K)+reg(L)+m+n.

注意到I1+J1也是一个不可约单项式理想, 根据Herzog[7]的推论3.2和Gao[5]的定理3.2,有

reg((I1KL,J1KL,xn))+m

=reg((I1,J1)KL)+m+n-1

≤reg(I1,J1)+reg(K)+reg(L)+m+n-1

≤reg(I1)+reg(J1)+reg(K)+reg(L)+m+n-2

=reg(I)+reg(J)+reg(K)+reg(L).

因此定理的结论在这种情况下是成立的。

如果S的一个变量x出现在I,J,K的最小的单项式生成元中, 而没有出现在L的最小的单项式生成元中。 设I=(I1,xm),J=(J1,xn),K=(K1,xs)且m≥n≥s≥1。则IJKL=(I1J1K1L,xsI1J1L,xnI1K1L,xmJ1K1L,xn+sI1L,xm+sJ1L,xm+nK1L,xm+n+sL)。

首先假设m≤n+s, 根据引理1.2

reg(IJKL)

≤max{reg((IJKL,xn+s)),reg((IJKL:xn+s))+n+s}

=max{reg((I1J1K1L,xsI1J1L,xnI1K1L,xmJ1K1L,xn+s)),

(2)

reg((I1L,J1K1L,xm-nJ1L,xm-sK1L,xmL))+n+s}.

(3)

对式(2), 有

reg((I1J1K1L,xsI1J1L,xnI1K1L,xmJ1K1L,xn+s))

≤max{reg((I1J1K1L,xsI1J1L,xnI1K1L,xm)),

reg((I1J1L,I1K1L,J1K1L,xn+s-m))+m}

≤max{reg((I1J1K1L,xsI1J1L,xn)),

reg((I1J1L,I1K1L,xm-n))+n,

reg((I1J1L,I1K1L,J1K1L,xn+s-m))+m}

≤max{reg((I1J1K1L,xs)),reg((I1J1L,xn-s))+s,

reg((I1J1L,I1K1L,xm-n))+n,

reg((I1J1L,I1K1L,J1K1L,xn+s-m))+m}.

类似于前面几种情况, 可以证明

reg((I1J1K1L,xs)),reg((I1J1L,xn-s))+s,reg((I1J1L,I1K1L,xm-n))+n的值不会超过reg(I)+reg(J)+reg(K)+reg(L).

根据推论2.1，有

reg((I1J1L,I1K1L,J1K1L,xn+s-m))+m

=reg((I1J1L,I1K1L,J1K1L))+n+s-1

≤reg(I1)+reg(J1)+reg(K1)+reg(L)+n+s-2

=reg(I1)+reg(J)+reg(K)+reg(L)

≤reg(I)+reg(J)+reg(K)+reg(L).

对式(3), 有

reg((I1L,J1K1L,xm-nJ1L,xm-sK1L,xmL))+n+s

≤max{reg((I1L,J1K1L,xm-n))+n+s,

reg((I1L,J1L,xn-sK1L,xnL))+m+s}

≤max{reg((I1L,J1K1L,xm-n))+n+s,

reg((I1L,J1L,xn-s))+m+s,

reg((I1L,J1L,K1L,xsL))+m+n}

≤max{reg((I1L,J1K1L,xm-n))+n+s,

reg((I1L,J1L,xn-s))+m+s,reg(L)+m+n+s,

reg((I1L,J1L,K1L,xs))+m+n}.

类似于前面几种情况, 易证

reg(L)+m+n+s,reg((I1L,J1L,xn-s))+m+s的值不会超过reg(I)+reg(J)+reg(K)+reg(L).

根据Herzog[7]的推论3.2, 有

reg((I1L,J1L,K1L,xs))+m+n

=reg((I1,J1,K1)L)+m+n+s-1

≤reg(I1)+reg(J1)+reg(K1)+reg(L)+m+n+s-3

=reg(I)+reg(J)+reg(K)+reg(L).

根据推论2.1,有

reg((I1L,J1K1L,xm-n))+n+s

=reg((I1L,J1K1L))+m+s-1

≤reg(I1)+reg(J1)+reg(K1)+reg(L)+m+s-2

=reg(I)+reg(J1)+reg(K)+reg(L).

所以当m≤n+s时, 有reg(IJKL)≤reg(I)+reg(J)+reg(K)+reg(L)。当m>n+s时, 同理可证reg(IJKL)≤reg(I)+reg(J)+reg(K)+reg(L)成立。 因此定理的结论在这种情况下是成立的。

如果S的一个变量x出现在I,J,K,L的最小的单项式生成元中, 设I=(I1,xm),J=(J1,xn),K=(K1,xs),L=(L1,xz)且m≥n≥s≥z≥1 则

IJKL=(I1J1K1L1,xzI1J1K1,xsI1J1L1,xnI1K1L1,

xmJ1K1L1,xs+zI1J1,xn+zI1K1,xn+sI1L1,xm+zJ1K1,xm+sJ1L1,xm+nK1L1,xn+s+zI1,xm+s+zJ1,xm+n+zK1,xm+n+sL1,xm+n+s+z).

首先假设m≤s+z, 根据引理1.2

reg (IJKL)≤max{reg((IJKL,xn+s+z)),

reg((IJKL:xn+s+z))+n+s+z}

=max{reg((I1J1K1L1,xzI1J1K1,xsI1J1L1,xnI1K1L1,

xmJ1K1L1,xs+zI1J1,xn+zI1K1,xn+sI1L1,xm+zJ1K1,

xm+sJ1L1,xm+nK1L1,xn+s+z)),

(4)

reg((I1,J1K1,J1L1,K1L1,xm-nJ1,xm-sK1,xm-zL1,xm))+n+s+z}.

(5)

对式(4)假设n+s≤m+z, 有

reg((I1J1K1L1,xzI1J1K1,xsI1J1L1,xnI1K1L1,xmJ1K1L1,

xs+zI1J1,xn+zI1K1,xn+sI1L1,xm+zJ1K1,xm+sJ1L1,xm+nK1L1,xn+s+z))

≤max{reg((I1J1K1L1,xzI1J1K1,xsI1J1L1,xnI1K1L1,xmJ1K1L1,

xs+zI1J1,xn+zI1K1,xn+sI1L1,xm+zJ1K1,xm+sJ1L1,xm+n)),

reg((I1J1,I1K1,I1L1,J1K1,J1L1,K1L1,xs+z-m))+m+n}

≤max{reg((I1J1K1L1,xzI1J1K1,xsI1J1L1,xnI1K1L1,xmJ1K1L1,

xs+zI1J1,xn+zI1K1,xn+sI1L1,xm+zJ1K1,xm+s)),

reg((I1J1,I1K1,I1L1,J1K1,J1L1,xn-s))+m+s,

reg((I1J1,I1K1,I1L1,J1K1,J1L1,K1L1,xs+z-m))+m+n}

≤max{reg((I1J1K1L1,xzI1J1K1,xsI1J1L1,xnI1K1L1,xmJ1K1L1,

xs+zI1J1,xn+zI1K1,xn+sI1L1,xm+z)),

reg((I1J1,I1K1,I1L1,J1K1,xs-z))+m+z,

reg((I1J1,I1K1,I1L1,J1K1,J1L1,xn-s))+m+s,

reg((I1J1,I1K1,I1L1,J1K1,J1L1,K1L1,xs+z-m))+m+n}

≤max{reg((I1J1K1L1,xzI1J1K1,xsI1J1L1,xnI1K1L1,xmJ1K1L1,

xs+zI1J1,xn+zI1K1,xn+s)),

reg((I1J1,I1K1,I1L1,J1K1L1,x(m+z)-(n+s)))+n+s,

reg((I1J1,I1K1,I1L1,J1K1,xs-z))+m+z,

reg((I1J1,I1K1,I1L1,J1K1,J1L1,xn-s))+m+s,

reg((I1J1,I1K1,I1L1,J1K1,J1L1,K1L1,xs+z-m))+m+n}

≤max{reg((I1J1K1L1,xzI1J1K1,xsI1J1L1,xnI1K1L1,xmJ1K1L1,

xs+zI1J1,xn+z)),reg((I1J1,I1K1,J1K1L1,xs-z))+n+z,

reg((I1J1,I1K1,I1L1,J1K1L1,x(m+z)-(n+s)))+n+s,

reg((I1J1,I1K1,I1L1,J1K1,xs-z))+m+z,

reg((I1J1,I1K1,I1L1,J1K1,J1L1,xn-s))+m+s,

reg((I1J1,I1K1,I1L1,J1K1,J1L1,K1L1,xs+z-m))+m+n}

≤max{reg((I1J1K1L1,xzI1J1K1,xsI1J1L1,xnI1K1L1,

xmJ1K1L1,xs+z)),reg((I1J1,I1K1L1,J1K1L1,xn-s))+s+z,

reg((I1J1,I1K1,J1K1L1,xs-z))+n+z,

reg((I1J1,I1K1,I1L1,J1K1L1,x(m+z)-(n+s)))+n+s,

reg((I1J1,I1K1,I1L1,J1K1,xs-z))+m+z,

reg((I1J1,I1K1,I1L1,J1K1,J1L1,xn-s))+m+s,

reg((I1J1,I1K1,I1L1,J1K1,J1L1,K1L1,xs+z-m))+m+n}

≤max{reg((I1J1K1L1,xzI1J1K1,xsI1J1L1,xnI1K1L1,xm)),

reg((I1J1K1,I1J1L1,I1K1L1,J1K1L1,xs+z-m))+m,

reg((I1J1,I1K1L1,J1K1L1,xn-s))+s+z,

reg((I1J1,I1K1,J1K1L1,xs-z))+n+z,

reg((I1J1,I1K1,I1L1,J1K1L1,x(m+z)-(n+s)))+n+s,

reg((I1J1,I1K1,I1L1,J1K1,xs-z))+m+z,

reg((I1J1,I1K1,I1L1,J1K1,J1L1,xn-s))+m+s,

reg((I1J1,I1K1,I1L1,J1K1,J1L1,K1L1,xs+z-m))+m+n}

≤max{reg((I1J1K1L1,xzI1J1K1,xsI1J1L1,xn)),

reg((I1J1K1,I1J1L1,I1K1L1,xm-n))+n,

reg((I1J1K1,I1J1L1,I1K1L1,J1K1L1,xs+z-m))+m,

reg((I1J1,I1K1L1,J1K1L1,xn-s))+s+z,

reg((I1J1,I1K1,J1K1L1,xs-z))+n+z,

reg((I1J1,I1K1,I1L1,J1K1L1,x(m+z)-(n+s)))+n+s,

reg((I1J1,I1K1,I1L1,J1K1,xs-z))+m+z,

reg((I1J1,I1K1,I1L1,J1K1,J1L1,xn-s))+m+s,

reg((I1J1,I1K1,I1L1,J1K1,J1L1,K1L1,xs+z-m))+m+n}

≤max{reg((I1J1K1L1,xzI1J1K1,xs)),

reg((I1J1K1,I1J1L1,xn-s))+s,

reg((I1J1K1,I1J1L1,I1K1L1,xm-n))+n,

reg((I1J1K1,I1J1L1,I1K1L1,J1K1L1,xs+z-m))+m,

reg((I1J1,I1K1L1,J1K1L1,xn-s))+s+z,

reg((I1J1,I1K1,J1K1L1,xs-z))+n+z,

reg((I1J1,I1K1,I1L1,J1K1L1,x(m+z)-(n+s)))+n+s,

reg((I1J1,I1K1,I1L1,J1K1,xs-z))+m+z,

reg((I1J1,I1K1,I1L1,J1K1,J1L1,xn-s))+m+s,

reg((I1J1,I1K1,I1L1,J1K1,J1L1,K1L1,xs+z-m))+m+n}

≤max{reg((I1J1K1L1,xz)),reg((I1J1K1,xs-z))+z,

reg((I1J1K1,I1J1L1,xn-s))+s,

reg((I1J1K1,I1J1L1,I1K1L1,xm-n))+n,

reg((I1J1K1,I1J1L1,I1K1L1,J1K1L1,xs+z-m))+m,

reg((I1J1,I1K1L1,J1K1L1,xn-s))+s+z,

reg((I1J1,I1K1,J1K1L1,xs-z))+n+z,

reg((I1J1,I1K1,I1L1,J1K1L1,x(m+z)-(n+s)))+n+s,

reg((I1J1,I1K1,I1L1,J1K1,xs-z))+m+z,

reg((I1J1,I1K1,I1L1,J1K1,J1L1,xn-s))+m+s,

reg((I1J1,I1K1,I1L1,J1K1,J1L1,K1L1,xs+z-m))+m+n}.

根据归纳假设和Gao[5]的引理3.1和定理3.2易证reg((I1J1K1L1,xz)),reg((I1J1K1,xs-z))+z,reg((I1J1K1,I1J1L1,xn-s))+s的值不会超过reg(I)+reg(J)+reg(K)+reg(L).

根据引理2.1, 有

reg((I1J1,I1K1,I1L1,J1K1,J1L1,K1L1,xs+z-m))+m+n

≤reg(I1)+reg(J1)+reg(K1)+reg(L1)+n+s+z-3

=reg(I1)+reg(J)+reg(K)+reg(L).

根据推论2.1, 有

reg((I1J1K1,I1J1L1,I1K1L1,J1K1L1,xs+z-m))+m

≤reg(I1)+reg(J1)+reg(K)+reg(L).

reg((I1J1,I1K1L1,J1K1L1,xn-s))+s+z

≤reg(I1)+reg(J)+reg(K1)+reg(L).

reg((I1J1,I1K1,J1K1L1,xs-z))+n+z

≤reg(I1)+reg(J)+reg(K)+reg(L1).

reg((I1J1,I1K1,I1L1,J1K1L1,x(m+z)-(n+s)))+n+s

≤reg(I)+reg(J1)+reg(K1)+reg(L).

reg((I1J1,I1K1,I1L1,J1K1,xs-z))+m+z

≤reg(I)+reg(J1)+reg(K)+reg(L1).

reg((I1J1,I1K1,I1L1,J1K1,J1L1,xn-s))+m+s

≤reg(I)+reg(J)+reg(K1)+reg(L1)-1.

reg((I1J1K1,I1J1L1,I1K1L1,xm-n))+n

≤reg(I)+reg(J1)+reg(K1)+reg(L1)-1.

对式(5)根据引理1.2, 有

reg((I1,J1K1,J1L1,K1L1,xm-nJ1,xm-sK1,xm-zL1,xm))+

n+s+z

≤max{reg((I1,J1K1,J1L1,K1L1,xm-nJ1,xm-sK1,xm-z))+

n+s+z,reg((I1,J1,K1,L1,xz))+m+n+s}

≤max{reg((I1,J1K1,J1L1,K1L1,xm-nJ1,xm-s))+

n+s+z,

reg((I1,J1,K1,xs-z))+m+n+z,

reg((I1,J1,K1,L1,xz))+m+n+s}

≤max{reg((I1,J1K1,J1L1,K1L1,xm-n))+n+s+z,

reg((I1,J1,K1L1,xn-s))+m+s+z,

reg((I1,J1,K1,xs-z))+m+n+z,

reg((I1,J1,K1,L1,xz))+m+n+s}.

根据Herzog[7]的推论3.2，易证

reg((I1,J1,K1L1,xn-s))+m+s+z,

reg((I1,J1,K1,xs-z))+m+n+z,

reg((I1,J1,K1,L1,xz))+m+n+s的值不会超过

reg(I)+reg(J)+reg(K)+reg(L)。根据Gao[5]的引理3.1, 有

reg((I1,J1K1,J1L1,K1L1,xm-n))+n+s+z

≤reg(I1)+reg((J1K1,J1L1,K1L1))+m+s+z-2

≤reg(I1)+reg(J1)+reg(K1)+reg(L1)+m+s+z-3

=reg(I)+reg(J1)+reg(K)+reg(L).

因此当n+s≤m+z时结论得证, 当n+s>m+z时可以用相同的方法证明有相同的结论; 因此当m≤s+z时定理成立, 当m>s+z时用相同的方法和完全类似的推导过程可以证明有相同的结论。

综上所述，定理被证明。