解析初中数学教学中的最短路径问题

尹加根

【摘要】最短路径问题是初中数学中的经典问题，进行最短路径问题分析需要综合运用初中数学知识，在初中数学教学中，应该做到教学结合实际，因为数学问题来源于生活，同时指导着人们的生活.点点之间、点线之间以及立体图形中两点的最短距离都是初中数学最短距离研究的问题.

【关键词】初中数学；最短距离；对称

在初中数学中大家都知道“两点之间线段最短”，现实生活中也会遇到最短距离的问题，这就可以用到初中数学中的最短距離进行分析解决实际问题，例如，一个人游泳到河对岸，朝哪个方向游距离比较短，在路边建一个公共厕所，刚好马路对面有两个学校，厕所建在什么位置可以使两所学校到厕所的距离之和最小等，都是利用了初中数学中的最短路径问题解决实际中的生活问题.下面就初中数学最短路径中的点点之间最短路径问题，点线最短路径问题和立体图形表面展开之中最短路径问题进行探讨分析.

一、点与点最短路径分析

平面上两个不重合的点，两者之间的最短路径分析.作为定理大家都清楚：“两点之间的线段最短”.所以这也就可以用来解释另外一个定理“三角形的两边之和大于第三边”是成立的.

二、点与线的最短路径分析

如图所示，一个人想在河边的P点游到河的对岸，要想使游的距离最短，应该选择图中哪条线路？图中的四条路线中，最短的是线路PB，因为，点到直线的距离垂线最短.

三、两点一线最短路径分析

两点一线分为两点在一条直线两侧和两点在一条直线同侧两种不同情况.把两点在一条直线两侧的情况视为情况一，把两点在一条直线同侧的情况视为情况二，进行单独分析.

情况一：

例如，如图所示，在图中有一条直线，图中两点A，B分别在直线两侧，在直线上求取一点P，使线段PA和PB之和最小.

解 如图所示，连接A，B两点，使线段AB与直线相交，线段AB与直线的交点P，就是所求的点.这正是利用了两点之间线段最短的定理.

情况二：

例如，如图所示，计划在沿街道的空置商铺中开设一个商店，使两个居民区A和B的居民方便购物，应该选择哪个地方的商铺，可以使A，B两个小区的居民到商店的距离之和最短.

解 把要求的点假设为P点，由两点之间线段最短可知，只有A，P，B三点在一条直线上的时候，才可以使得AP+PB最短.因此，利用对称性，把街道看作一条直线，在直线的另一边找到点A的对称点A′，连接点A′和点B，线段A′B与直线的交点P就是商店应该选择的位置.

四、一点在两相交直线内部

例如，如图所示，A是锐角∠MON内部的一点，在OM和ON上分别取一点，分别记为B和C，使这三点组成的三角形边长的和最小.

解 要想使组成的三角形三条边之和最小，则只有三角形的三条边AC，AB，BC重合在一条直线上才能满足周长最小.所以，在OM和ON的另一侧作点A的对称点A′和A″，线段AA′，AA″分别与OM和ON交于B，C两点，点B，C就是要求的两点.

五、两点两线最短路径分析

例如，如图所示，C为喂马的马厩，D为休息的临时小屋，OA为草原的边界，OB为河流，马的主人需要从马厩牵出马，先让马在草原上吃草，然后让马到河边喝水，最后牵马回到小屋休息，请确定马的主人应该怎样走，才能使行走路线最短.

解 利用对称性，

1.在直线OA的另一侧找出点C的对称点F；

2.在直线OB的另一侧找出点D的对称点E；

3.连接点E和点F，得到线段EF，线段EF交直线OA和直线OB于G和H两点；则CG+GH+HD就是行走的最短路线.

六、总 结

初中数学教学中的最短路径问题，主要是利用“两点之间线段最短”和对称性进行分析，学生应该在掌握数学知识的同时，灵活运用所学知识解决生活中的实际问题，其实数学就是一门解决问题的学科，生活中应该学会利用转化的思想，把生活问题转化为数学问题进行解决，做到生活和数学学习有机结合.

【参考文献】

[1]张媛.关于初中数学最短路径问题的探究[J].高考，2017（6）：194.

[2]王素娟.浅谈初中数学教学中的最短路径问题[J].教育实践与研究（B），2016（6）：55-56.