超几何分布与二项分布易混问题剖析

甘肃 魏正清

超几何分布与二项分布是常见的离散型随机变量的分布问题，一直是高考考查的热点.但有不少学生在求解离散型随机变量的分布列时，时常把超几何分布问题当二项分布处理，或把二项分布问题当超几何分布处理.本文从三个层面剖析易混误区.

易混点一 超几何分布与二项分布的概念理解不深不透

如果随机变量X的分布列具有下列形式：

X01…mPC0MCn-0N-MCnNC1MCn-1N-MCnN…CmMCn-mN-MCnN

则称随机变量X服从超几何分布.

可见，超几何分布必须要知道总体的容量，且是不放回抽取；而二项分布不需要知道总体容量，且是放回抽取的.

易混点二 误把二项分布当超几何分布

例1在中国，不仅是购物，而且从共享单车到医院挂号再到公共缴费，日常生活中几乎全部领域都支持手机下单和支付.出门不带现金的人正在迅速增加.中国人民大学和法国调查公司益普索(lpsos)合作，调查了腾讯服务的 6 000 名用户，从中随机抽取了60名，统计他们出门随机携带的现金(单位：元)如茎叶图所示，规定：随身携带的现金在100及以上的为“淡定族”，其他为“非淡定族”.

用样本估计总体，若从腾讯服务的用户中随机抽取 3人，设这3人中“淡定族”的人数为随机变量ξ，求随机变量ξ的概率分布列及数学期望.

依题意得ξ=0,1,2,3，

得随机变量ξ的分布列为

ξ0123P271 0001891 0004411 0003431 000

评析题目中已知“用样本估计总体”，这就是说要把样本的频率视为总体的概率进行计算，显而易见不是超几何分布问题，而是典型的独立重复试验，因而是二项分布问题.但学生很容易忽视“用样本估计总体”或不理解“用样本估计总体”，而用超几何分布求概率，错误地把样本容量6 000当成总体容量6 000，陷入以偏概全的解题误区.

例2为了尽快提高学生的数学成绩，某学校把试卷进行讲评后，再重新让学生测试，不出现任何的问题才“过关”，出现错误的同学认为“不过关”，根据分层抽样随机抽取50名学生，可得频率分布表如下：

分数段[0,60)[60,75)[75,90)[90,105)[105,120)[120,150]人数510151055过关人数125534

根据上表的信息，从高三的学生中选取5名，求至少 3名学生过关的概率.

错解依题意，抽取的50名学生中过关的学生共 7人，不过关的学生共43人，

则选取的5名学生中至少3名过关的概率为

评析题目中要求“从高三学生中选取5人”，可高三学生总人数题目并没有告知，也就是不知道总体容量，这也正是超几何分布与二项分布的本质差别之一.因为超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要知道.因而学生很容易误把样本容量当成总体容量进行计算，陷入概念混淆，内涵与外延理解不透引起的解题误区.

例3近年来城市“共享单车”的投放在我国各地迅猛发展，“共享单车”为人们出行提供了便利.M市现有某种共享单车，某调查机构对这种共享单车的质量进行了调查，从使用过这种共享单车的市民中随机抽取了1 000人，每人分别对这种共享单车进行评分，满分均为60分，并将分数分成6组，得到频数分布表如下：

分数[0,10)[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60]评分人数203050150400350

用样本估计总体，从参与调查的市民中任选4人，记其中对该种共享单车评分不低于30分的人数为X，求X的分布列与数学期望.

错解依题意，对该种共享单车评分不低于30分的共800人，评分低于30分的共200人.

依题意得X=0,1,2,3,4，

得随机变量X的分布列为

ξ01234P110 0003610 00048610 0002 91610 0006 56110 000

评析题目中给出“用样本估计总体”，这就说明基本事件的概率已知，显然不是超几何分布，而是重复试验，是二项分布问题.学生很容易忽视“用样本估计总体”，陷入概念理解不深不透引起的解题误区.

易混点三 误把超几何分布当二项分布

例42017年华北地区雾霾治理取得了很大成效，空气质量与2016年相比得到了很大改善.某市设有12个监测站点监测空气质量指数(AQI).如图是2017年11月的30天中，AQI的频率分布直方图，其中分段区间分别为[48,72)，[72,96)，[96,120)，…，[216,240]，11月仅有1天的AQI在[144,150)内.

(1)该市市民小孟是星期日查看官方公布的本市的AQI，如果AQI小于150，小孟就去体育馆踢球，以统计数据中的频率为概率，求小孟星期日去踢球的概率；

(2)“双创”活动中，验收小组把该市的空气质量作为一个评价指标，从当月的空气质量监测数据中抽取3天的数据进行评价，设抽取到的AQI不小于150的天数为X，求X的分布列与数学期望.

故X的分布列为

X0123P2712554125361258125

(2)依题意，得X=0,1,2,3，

故X的分布列为

ξ0123P2041 0154591 0152971 01511203

评析题目中已知“从当月的空气质量监测数据中抽取3天的数据进行评价”，这就说明是从30天中抽3天，显然是典型的超几何分布.但学生很容易看到频率分布直方图，产生错觉，就把频率当概率，看成二项分布的问题，陷入定势思维引起的解题误区.

故ξ的分布列为

ξ0123P8271227627127

依题意得ξ=0,1,2,3，

故ξ的分布列为

ξ0123P145528551255155