浅谈高中数学中排列组合问题的解题规律

贾丰瑞

摘要：排列组合作为高中数学的重要内容和难点内容，以计数原理为基础。由于其知识本身的灵活多变性和难以理解性，作为高中生在分析和解决排列组合问题时容易出现思维逻辑混乱，分类不清，考虑不全，找不到解题突破口等问题。本文就高中阶段遇到的排列组合问题进行归类总结，简要阐述几类排列组合问题的解题规律。

关键词：高中 排列组合 解题规律

排列组合以及计算原理作为组合数学基础，其应用与我们生活联系紧密。它不仅是基础数学研究中具有极其重要的地位，在其它的学科，如计算机科学、编码密码学、物理、化学、生物学等学科中均有重要应用。尤其是在计算机科学的高速发展中，组合数学扮演的角色不可替代作为高中生深入研究排列组合问题的解题规律，掌握其中蕴含的数学思想很有必要，也为以后我们进去大学学习专业知识打下坚实的基础。

一、排列组合的发展

数学这门与生活息息相关的学科是随着人类的进步不断完善的，排列组合问题最早在公元前《易经》这本书中就出现了，在之后的八卦图、干支历纪年法和五行循环理论中都包含了先人排列组合的思维，而国外是直到12世纪印度的典籍中才出现了排列组合思维。其后，关于排列组合的知识框架不断完善、理论应用不断丰富，在日常生活中越来越具有实际应用价值，并有了专门的数学符号和计算表达[1]。

二、计数原理

排列组合是专门研究离散事物按照一定的规则安排或配置的不同方法数的数学[2]。下面介绍两种主要的计数方法：

（一）加法原理 （分类计数原理）

就如蚂蚁森林自2016年开始在干旱地区种树，有梭梭树、沙柳、樟子松等多种树木，现在每年梭梭树能种Z1棵，沙柳Z2棵，樟子松Z3棵，……，第x种树种了Zx棵，则一年内蚂蚁森林一共种了N= Z1+Z2+Z3+……+Zx棵树[3]。种的树的总量就是把每一种树种植的数量相加，这就是加法原理的简单应用。

（二）乘法原理（分步计数原理）

比如我们做一张试卷，有X道题，第1题有Z1个选项，第2题有Z2个选项，……以此类推，第X题有Zx种选项，所以我们完成这张试卷就有N= Z1×Z2×Z3×……×Zx种不同的可能性了[3]。

三、排列组合问题解题规律

高中考试中遇到的关于排列组合的题目往往与实际生活相连，题型多样、灵活，这就要求考生思路要灵活。题目中的干扰信息比较多，好多都是没用的，我们第一步就要仔细审题标记关键数字，提取有效信息；第二步就是要抓住题目的本质特征，采用相对应的方法来解决题目。

（一）特殊元素和特殊位置优先策略

解决高中阶段的排列组合问题其实有很多解题的“套路”和窍门，解题时可以抓住题目中的关键，找出特殊元素和特殊位置，先将特殊确定，在处理其他的问题。如果题目中有特殊位置，解题时就把特殊位置空出来，先填充上合适的数，然后安排其他的位置。若遇到的题目中有很多约束条件，那要仔细看题干，把特殊元素和特殊位置都拎出来，将数字排列组合时这些条件都要考虑的到。

例1：从0，5，6，7，8，9六个数中选5个数字组成一个五位奇数，每个数字只能使用一次，一共能组成多少个这样的奇数 [4]？

解析：审题可以发现这一题有很多限制条件。首先是位置，五位奇数的末位只能从5，7，9中挑选；题目要求组成的数是五位数，所以第一个数字不能为0，只能从6，8和剩余的奇数中任选一个；首位和末位确定后，中间的位置就可以用剩余数字任意填充了，有 种选法；∴根据乘法原理解题得，共

中选择方法。

（二）相邻元素“捆绑”策略

如果做到的题目中要求某两个或多个数字必须相连，那就可以用“捆绑”思维来解答这道题。“捆绑”策略就是将必须相邻的元素按照题目要求的顺序排列组合成一个组，将这个组看成一个元素，再与其它元素排列。

例2：将红橙黄绿青蓝紫七种颜色的小球排成一行，其中红球要与橙球相邻，黄球要与绿球相邻，那么一共有多少种排序方式？

解析：依照“捆绑”法解题，首先将红色小球与橙色小球“捆绑”成一个组，黄色小球和绿色小球“捆绑”成一个组，然后将这两个组与其它元素排列，同时红球橙球，黄球和绿球的顺序也可以互相调换，计算 得到不同颜色小球排列的不同方法。

（三）相邻问题“插空”策略

如果题目要求两个元素要按照一定的顺序排列但是不能相邻，那就可以先随意排列没有特殊要求的元素，然后再将有要求的元素插入已拍好顺序的元素的中间或两端。

例3：现有9张扑克牌，2张梅花，3张黑桃，4个红桃，将它们排成一行，但不能连排两张红桃，9张扑克牌共有几种排列方法？

解析：根据相邻问题“插空”策略，要先排列2张梅花和3张黑桃，共有 种排列方法，将4张红桃插入已排好的五张扑克牌有 种排列方法，计算 即为答案。

（四）重复排列问题“求幂”策略

若一个题目是只考虑元素，与位置没有任何关系，元素的位置可以重合没有限制，这就成了“求幂”排列问题。若果将X种不同的元素没有任何限制地安排在Y个位置上，则有YX种放置方式。

例5：夏天到了，小红家开了一家冰淇淋店，冰淇淋有香草、巧克力、草莓等8种口味，在5分钟内就来了10名顾客，那请问小红在五分钟内做的冰淇淋可能有多少种？

解析：第一位顾客可能选择8种口味中任意一种，

第二位顾客也有8种口味可以选择，

……

依此类推，小红在5分钟内有810种可能的冰淇淋做法。

以上是在高中阶段排列组合单元常见的例题，通过对这些典型例题的解析希望可以帮助大家对排列组合问题有更深刻的了解，能够具体问题具体分析，整理出一套有用、有效率的解题思路，能把复杂的问题简单化，能在考试中获得更高的分数。

四、结语

排列组合作为高中数学的重要内容，在实际生活中应用广泛，而且在培养人的数学能力，思维能力，提高人的综合素质上发挥着不可代替的作用。而对高中生而言，学习排列组合时我们要认真对待，从中得到解题规律，为以后学习专业知识打下基础，从而更好地服務于社会。

参考文献：

[1]刘明君.高中生排列组合认知水平研究[D].西北师范大学，2016.

[2]张国平.从排列组合中学习数学思想方法[J].师范教育，2003，（05）：15.

[3]许娟.高中排列组合的教学研究与时间[D].西北师范大学，2006.

[4]武蕊红.排列组合中常见的问题及解题方法[M].山西师范大学学报（自然科学版）研究生论文专刊，2013，（27）：5-7.

（作者单位：郑州外国语学校）