函数思想在高中数学解题应用中的再思考和实践

朱兆轩

【摘要】函数思想是高中数学中的一种重要思维方式，将函数思想运用到不同类型的题目中，会使很多复杂的问题简单化，进而提高解题效率和解题能力，为高中数学的学习奠定良好的基础.本文通过具体分析函数思想在几种不同题型中的运用，探讨了函数思想在高中数学解题中的具体实践.

【关键词】函数思想；高中数学；解题

一、探析函数思想的内涵

所谓函数思想，主要是运用函数的概念以及性质研究、解决数学问题的一种思维方式，实际上就是利用题目已知量和未知量之间的关联性，列出相应的函数关系式，然后利用函数的性质进行分析，最终得到想要的答案.即使遇到难度系数较大的问题，也可以利用函数思想快速找到解决问题的方法.从某种程度上说，函数思想就是一架将各种数学知识联系起来的桥梁，如果能正确运用函数思想解决各种数学问题，那么不但可以锻炼思维能力，还有助于将各种数学知识融会贯通，理解数学各个分支间的内在联系.

二、方程中函数思想的运用

方程和函数之间存在着息息相关的联系，可以说函数包含了方程的全部内涵，方程也在函数中扮演着重要角色.灵活利用函数思想来解决方程问题，一些看似烦琐的问题就会迎刃而解，比如下面的例题：

求证：不论a取什么实数，方程x2-（a2+a）x+a-2=0必有两个不相等的实根.刚看到这个题时，首先想到的可能是利用常规解法求出判别式Δ=[-（a2+a）]2-4（a-2），但这个判别式是关于a的一元四次多项式，虽然方法正确，但不容易判断，并且有较大的计算量.这时可以转变思维方式，将这个题目转换为函数问题.首先构建出函数f（x）=x2-（a2+a）x+a-2，只要證明函数f（x）=x2-（a2+a）x+a-2与x轴有两个交点即可.证明过程如下：

∵x2的系数大于0，∴函数开口向上，

∴只要找到一个实数x0，使得f（x0）<0即可.

又∵f（1）=1-（a2+a）+a-2=-a2-1<0，

∴函数y=f（x）的图像与x轴有两个交点x1和x2，命题即证.

三、解析几何中函数思想的应用

在高中数学中，圆锥曲线题型多样，计算复杂，常被选为高考压轴题型，要想在高考数学中取得好成绩，必需熟练掌握圆锥曲线的各种解题技巧，利用函数思想解决圆锥曲线相关问题正是一种常用技巧.

例 直线m：y=kx+1和双曲线x2-y2=1的左支交于A，B两点，直线l过点P（-2，0）和AB线段的中点M，求l在y轴上的截距b的取值范围.

解 由y=kx+1，x2-y2=1，且x≤-1，（k2-1）x2+2kx+2=0.

由题意得Δ=4k2+8（1-k2）>0，x1+x2=2k1-k2<0，且x1x2=-21-k2>01

设M（x0，y0），则x0=x1+x22=k1-k2，y0=kx0+1=11-k2.

由P（-2，0），Mk1-k2，11-k2，Q（0，b）三点共线，可得b=2-2k2+k+2.

设f（k）=-2k2+k+2=-2k-142+178，则f（k）在（1，2）上为减函数.

所以f（2）2.

通常，圆锥曲线中求参数范围、最值问题、位置关系等问题，都可以借用函数思想来处理，可以降低思维量，优化计算过程，有效快捷地得出答案，达到事半功倍的效果.

四、不等式中函数思想的运用

对于大部分不等式的证明问题，也可以将问题运用函数思想进行转化，获得想要的答案.

举例说明：已知不等式x2+mx+3>4x+m恒成立，同时，0≤m≤4，求x的取值范围.这种题目如果利用不等式的解题方法来解答，解题步骤相对来说比较烦琐.可以运用函数思想这样做：把m当作自变量，快速建立起一个关于m的函数f（m）=（x-1）m+（x2-4x+3），这样就把题目转变为函数f（m）>0恒成立的问题了，同时m∈[0，4]，这样就容易对x的取值范围进行求解了，轻易解出x<-1或x>3.

五、数列中函数思想的应用

数列在高中数学中占有不可或缺的位置，可以灵活利用函数思想来提高解数列题的能力.

举例说明：数列{an}通项公式为an=n2+1-n，证明该数列为递减数列.根据以往学习的经验可以知道，比较数列中相邻两项的大小可以从函数增减性着手，这样就将问题转换成函数增减性的问题了，最终证明该数列问题.具体步骤如下：

证明 令f（x）=x2+1-x，则f（x）=x2+1-x=1x2+1+x.

因为函数f（x）为递减函数，所以数列{an}是递减数列.由此可见，某些数列题如果按常规思路来解，通常比较烦琐，如果运用函数思想转换一下思维方式，就可快速找到答案.

六、结束语

函数思想是一种重要的思维方法，在实际解题过程中常常与其他数学思想联系在一起，在高中阶段有着非常广泛的应用.如果我们能善用函数思想转换思维，可以使很多数学问题简单化，快速得到答案，这样不但可以锻炼思维能力，也可以提高解题能力，从而提高学习成绩，可谓是一举多得.