浅谈三重积分教学中的几点思考

刘红军 肖丽

【摘要】三重积分的知识点在数学分析的教学中具有相当重要的地位，也是积分学中学习的重点和难点.本文针对三重积分解题过程中具有抽象性和严谨性的特点，从“领悟三重积分的思想”“提倡兴趣教学”和“组织讨论学习中存在的问题”等几个方面总结了在三重积分教学中的几点思考.

【关键词】三重积分；兴趣教学；思维方法

【基金项目】贵州师范大学博士科研启动基金（11904/0517078）.

三重积分是二重积分的一个自然推广，与二重积分有着相似的可积条件和性质.三重积分的概念与定积分、曲线积分以及二重积分都渗透着同一数学思想：分割、近似求和、取极限[1，2，3].其计算方法可归纳为：直角坐标系法、柱面坐标系法和球面坐标系法.但是在三重积分具体的计算过程中，还是需要有很强的几何直观能力和灵活应变能力，以便于合理地将积分体表示出来以及正确写出积分表达式.由于三重积分的计算方法比较灵活，所以在教学中存在一些突出的问题：学生反映不能正确把握计算方法；在直角坐标系中，“先一后二”和“先二后一”理解不透彻；在运用柱面坐标系和球面坐标系变换的时候不能正确写出变量的范围.为什么会出现这一系列的问题呢？笔者认为这不仅与学生吸收知识的局限性有关，而且与教师在教学中如何合理地安排教学，如何正确地引导也是至关重要的.在本文中，以三重积分的教学为出发点，结合本节内容的重、难点和学生存在的问题，针对三重积分教学中的一些问题做以下的思考和探讨.

一、教学中注重引导学生领悟三重积分的思想

微积分学的发展，是古往今来诸多数学家智慧的成果.从古希腊数学家欧多克斯的“穷竭法”到阿基米德的“平衡法”，都可以看成是微积分学的起源.后来在牛顿、莱布尼兹和柯西等人的工作中，积分的概念迅速发展起来，十九世纪黎曼比较完整地揭示了定积分的实质.随着科学的发展，二重积分和三重积分是在为了解决实际问题的过程中所产生的，三重积分在物理和自然科学的其他领域也有着非常重要的作用.

在教学过程中，注重引导学生如何去理解三重积分的思想，以一些实际应用的例子作为铺垫.比如，积分学中利用“以直代曲”来计算不规则图形的面积和体积；利用“以匀代变”来求物体的质量、质心、转动惯量等问题.然而，三重积分概念的引入，与定积分和二重积分的思想类似，即应用分割、近似求和、取极限的思想分析一个密度不均匀的空间立体的质量，提取出物理意义，就可以得到三重积分的概念.通过一些实际问题和具体的例子，提高学生对三重积分的学习积极性和学习兴趣，从中更加深刻地理解三重积分的思想.要学好三重积分的知识点，必须是多想、多看、多练习、多问为什么.业精于勤，行成于思.不仅要知其然也要知其所以然，这样才能融会贯通、举一反三、灵活应用.

二、教学中讲究教学方法，积极提倡兴趣教学

三重积分的内容非常丰富，应用也相当广泛.积分学知识的学习本来就很枯燥乏味，加之三重积分具有抽象性和严谨性的特点，学生学习起来更加提不起兴趣.在教学中，为了提高学生的学习兴趣，教师需要在教学内容上稍加打磨修饰，联系生活中的实际例子，通过解决实际问题使学生对三重积分有一定的感性认识，从而使学生对此类问题产生好感，激发学生的学习兴趣，才能进一步诱发学生的创新意识.为了在教学中能使教学变得简单化，提升学生的学习兴趣，同时加深学生的学习记忆，在講解三重积分直角坐标系中的计算方法时，可将具体的解题方法形象化：（1）把“先一后二”比作“竖叉土豆丝”，主要是看投影区域，此时投影区域是确定的；（2）把“先二后一”比作“横切土豆片”，主要是找截面，此时的截面是在动的，将与截面垂直的坐标变量看成常数[5].通过这样形象的比喻，通俗易懂的教学方法来激发学生对学习产生好感，并且提高学生学习的积极性.从而，让学生感觉到数学无处不在，也就是实际生活的提升，并没有想象中那么大的难度.

三、教学中重视思维提升，组织讨论学习中存在的问题

大多数学生在进入大学之后都会有不同程度的迷茫，一时找不准前进的方向.身正为范，学高为师.教师就应该思考如何去引导学生，做好他们人生道路上的引导者.首先，学生的学习应该是有目标性的.作为一名大学生，不能因为进入大学而忘记高中阶段学习的乐趣，甚至忘记了自己当前的本职任务还是学习.大学没有像中学一样时刻有教师在监督和管理，大学是大家一起学，学习众多学科和方向的阶段，也是为进入社会而做好铺垫的重要阶段.大学一定要有一个明确的目标，时刻问问自己“我来大学是为什么？毕业出校门能干什么？”这也是进入大学要明确的最基本的问题.其次，学生的学习应该是连续性的.大学生活目标明确之后，接下来就得看自己的自制力和执行力，还需要连续不断地学习，因为间隔时间久了，学过的知识点也会忘记，所以学习是日复一日的重复过程，温故而知新，在不断学习中创造出的新的成果.最后，学生的学习应该是有选择性的.面对纷繁复杂的社会，社会的需要是多样性的，那么就要求我们学习更多的知识.因此，教师和学生们都应该有选择性地去学习，自己适合做什么，将来想做什么，在有目标的前提下，更应该有选择性地去学习，做自己最想做的事情，做自己最适合做的事情.

现在的社会纷繁复杂，教师和学生受到环境影响的因素很多，所以在教学中很多问题得不到及时有效的解决，一拖再拖，直至问题的严重化.在教学过程中应该注重学生思维的提升，教师作为教学的引导者和实施者，主要是把好的数学思想传达给学生，在课堂上应该充分展示出数学知识与实际问题的联系，从而提升学生的思维能力.用生动有趣的实际案例激发学生对学习的兴趣，用直观形象的图形和图表帮助学生理解一些抽象的数学概念和理论知识，用熟悉易懂的知识引导出整体知识间的逻辑关系，以及讲清楚每一个数学公式背景和用途，进而帮助学生对知识的整体把握和局部理解.

三重积分的计算方法具有灵活性，根据不同的题设条件可以参考不同的解题技巧和方法，所以在教学中存在几个典型的问题：第一，大多数学生反映对于三重积分的计算方法不能正确把握，具体怎么入手还是很困惑的问题；第二，在直角坐标系中，“先一后二”比较好理解，但是对“先二后一”理解不够透彻，搞不清楚这一方法细节中的深层含义；第三，在运用柱面坐标系和球面坐标系变换的时候不能正确写出变量的范围，或者对这些变量还没有完全地理解其含义.因此，要完全弄清楚这些问题对学生的学习而言绝对是一个非常重要的事情，对学生思维能力的提升也有一定的帮助.但是由于上课时间的局限性，想要完完全全地搞清楚这一系列问题的来龙去脉，仅依赖短短的课堂教学肯定是不够的.因而，在课后还得组织学生们进行交流讨论，利用课外时间对三重积分中存在的一些问题进行分组讨论、相互学习，然后总结问题再统一进行讲解，各个击破.通过分组交流讨论的形式，学生对三重积分的知识点会有更深层次的了解，同时对大家思维能力的提升也是非常有益的.

四、结 语

吕传汉教授在学科教学中提出“三教思想”，即“教思考、教体验、教表达”.教师在教学中要重视学生问题意识的培养，让学生在学习的过程中不断地发现问题、提出问题、分析问题和解决问题；教学生体验知识、内涵和逻辑，指导学生获得体验的方法，给学生搭建体验的平台；教学生表述自己的思考，锻炼学生的口头表达能力.因此，在三重积分的教学过程中，从实际问题出发，引导学生如何去思考三重积分的本质思想，带着问题进行分析，归纳总结，得出结论.然后引领学生通过做题，多去体验，归纳三重积分的方法技巧，举一反三，灵活运用，实质性地掌握三重积分的思想.最后再教导学生如何将学到的知识表达出来，形成自己的语言，真正地消化知识点，使得教与学得到真正的有机结合.

【参考文献】

[1]陈传章，金福临，朱学炎，欧阳光中.数学分析（第二版）[M].北京：高等教育出版社，1983.

[2]陈纪修，於崇华，金路.数学分析（第2版）[M].北京：高等教育出版社，2004.

[3]华东师范大学数学系.数学分析（第4版）[M].北京：高等教育出版社，2010.

[4]刘玉莲，傅沛仁，匡继昌.数学分析讲义·上册·第3版[M].北京：高等教育出版社，1992.

[5]宋迎春，孟桂芝，李兴华.重积分教学中的思考——从一道三重积分习题谈起[J].林区教学，2015（8）：90-91.