一类带有脉冲的生物入侵随机模型的分析

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(北京科技大学 数理学院，北京 10083)

1 模型介绍

生物入侵是指某种生物从外地自然传入或人为引种后成为野生状态，并对本地生态系统造成一定危害的现象。本研究从问题出发，根据生物入侵的特点建立所需的随机模型并进一步研究模型的性质。

自然界中，物种之间的关系始终受到白噪声的干扰。因此，很多学者在经典的捕食者食饵模型即Lotka-Volterra模型中加入白噪声[1-4]，得到

其中，x(t)是食饵的种群密度，y(t)是捕食者的种群密度，bi、ci、σi均为非负常数，Bi(t)为标准的布朗运动。

在Lotka-Volterra模型之后，Leslie对其进行改进[5]，得到

在食饵增长中，p(x)反映单位时间里每个捕食者吃掉的食饵数量，不仅与食饵的数量有关，还与捕食者的捕食能力有关，称为捕食者对食饵的功能性反应。这个模型假设捕食者在环境中的最大容量与食饵的数量成正比例，捕食者的增长是关于y(t)的逻辑斯蒂增长方程，其固有增长率为a2，环境最大容纳量为a2x(t)/b2。

将Leslie模型中的p(x)取c1x(t)，并加入随机项，有

此模型中，食饵的变化与自身一次项呈正相关，与自身二次项和交叉项呈负相关，此食饵可看作食物链较低端的物种；捕食者的变化与自身成逻辑回归关系，并且其最大环境容纳量受食饵数量的限制，此捕食者可看作以一种食饵为食的捕食者。综上所述，可运用该模型来研究生物入侵。一般情况下，模型中的参数是受时间影响的，例如有些物种的数量变化率就随季节不同而变化，故模型可变为

进一步考虑现实生活，物种数量会受到来自自然或人类社会的其他影响，比如火山爆发、瘟疫或人类突然的大量捕捞等，这些干扰不是白噪声的随机干扰所能涵盖的。因此，有必要在模型中加入脉冲项[6]

(1.1)

其中，ai(t),bi(t),σi(t)(i=1,2),c1(t)均是正的有界连续T周期函数，并满足

考虑到是生物模型，故仅需研究方程的正解。因此可做下面限制：

1+δik>0，i=1,2；k=1,2,3,…。

而且，δik>0是物种数量突然增多，代表着对物种的“种植”，δik<0是物种数量突然减少，代表着对物种的“收割”。

此模型的环境干扰有两种：白噪声干扰和脉冲干扰。白噪声干扰使物种连续地变化，而脉冲干扰使物种离散地变化。

此外，这里假定存在正整数p，使得

tk+p=tk+T,δi(k+p)=δik，k∈Z+。

不失一般性，假设

[0,T)∩{tk,k∈Z}={t1,t2,…,tp}。

2 系统正解存在唯一性

定义1[7]考虑一个带有脉冲的随机微分方程

(2.1)

1)x(t)是适应的并且在(0,t1)和(tk,tk+1),k∈N+上都连续，而且F(t,x(t))∈L1(R+;Rn),G(t,x(t))∈L2(R+;Rn)。其中若有f(t)∈Lk(R+;Rn)，则

3) 对几乎每个t∈R+ k，x(t)满足与(2.1)等价的积分方程，并满足t=tk,k∈Na.s.时的脉冲条件,则x(t)是系统(2.1)的解。

证明：首先，考虑如下无脉冲项模型

(2.2)

下面证明Ai(t)均是T-周期连续函数。

对于任意t，存在整数n，使得nT

由tk+p=tk+T,δi,k+p=δik，得

tk+np=tk+(n-1)p+T=…=tk+nT,δi,k+np=δi,k+(n-1)p=…=δik。

(2.3)

由[0,T)∩{tk}={t1,t2,…,tp}，存在l∈{1,2,…,p}，使得

(tl+np,tl+1+np,…,tp+np∈[t,(n+1)T)，
t1+(n+1)p,t2+(n+1)p,…,tl-1+(n+1)p∈[(n+1)T,t+T)。)

(2.4)

由式(2.3)，(2.4)得

故

Ai(t)均是T-周期连续函数，证毕。

然后令x(t)=A1(t)y1(t),y(t)=A2(t)y2(t)。则易知x(t),y(t)在t∈(tk,tk+1)上均连续，k=0,1,2,…,t0=0。 那么当t∈(tk,tk+1)时，有

dx(t) =y1(t)dA1(t)+A1(t)dy1(t)

=x(t)(a1(t)-b1(t)x(t)-c1(t)y(t))dt+σ1(t)x(t)dB1(t)。

且有

同理，y(t)在t∈(tk,tk+1)满足

而且

综上可知，(x(t),y(t))是满足系统(1.1)的解，即系统(1.1)存在解(x(t),y(t))。

最后，证明系统(1.1)解的非负唯一性[9]。

取(u(t),v(t))，满足

x(t)=eu(t),y(t)=ev(t)。

则在t∈[0,t1]上对x(t),y(t)运用It公式得

易知上面方程满足利普希茨条件，存在唯一的解(u(t),v(t))。而由于x(t)=eu(t),y(t)=ev(t)，则(x(t),y(t))为系统(1.1)在t∈[0,t1]上的唯一正解。

同样在t∈(tk,tk+1](k=1,2…)时，运用It公式得

同样，上面方程满足利普希茨条件，存在唯一的解(u(t),v(t))。则(x(t),y(t))为系统(1.1)在t∈(tk,tk+1](k=1,2…)上的唯一正解。

定理证明完毕。

3 灭绝与持久的条件

为了后面分析的方便，此处做一些记号。若f(t)是可积的，定义

若f(t)是有界的，定义

定理3.1若满足

则系统(1.1)中的两种群最终将灭绝。

证明：对于系统(2.2)，运用It公式有

两边同时积分并除以t，有

由鞅的强大数定律得

因此有

定理3.2若满足

则在系统(1.1)中，捕食者最终将灭绝，食饵数量最终将持久。

证明：由定理3.1可知：

捕食者最终将灭绝，下面证明食饵数量的持久性。

等式两边同时积分并除以t有

(3.1)

由定理3.1得

那么，方程(3.1)变为

整理可得

可知食饵数量持久，所证成立。

定理3.3若满足

则在系统(1.1)中，捕食者与食饵数量最终将持久。

证明：在此定理条件下也可得定理3.2中的(3.1)式，对t取极限整理得：

则

由于x(t),y(t)均为非负值，故二者至少有一方种群密度持久。

假设存在t0使得x(t0)=0，由系统(1.1)知当t>t0时必有y(t)=0，两种群均灭绝，与结论有矛盾,故对所有t>0都有x(t)>0，那么种群密度x(t)将持久。

等式两边同时积分并除以t，有

对t取极限整理有

那么

由于对所有t>0都有x(t)>0，且x(t)持久，则x(t)必有下界x0>0，则

4 数值模拟和结论

为验证前面的分析，对系统(1.1)进行数值模拟。

此模型可应用于生物入侵的例子。例如澳洲的兔灾，1859年，25只欧洲兔子被带入澳洲供人打猎，但后来兔子没有天敌，却有丰富的青草，繁殖过快，给生态带来了危害。这时人们希望兔子种群能灭绝，青草被保护起来。那么模型中的捕食者就是兔子，食饵是青草，环境干扰是白噪声干扰，而脉冲干扰就是人类的干预。为了实现研究目的,由定理3.2可知，可通过人为干预，大量捕杀兔子，设法满足定理3.2中的条件，则最终兔子会灭绝，且青草会持久生存。

在人类干预之前，可看作是脉冲很小的模型，而且是适用一般的随机模型，主要是随机因素对模型的影响，不少学者已对此进行过大量研究，在此主要研究脉冲因素对生物入侵的影响。因此可取(x0,y0)=(3,0.1)，a1(t)=0.35+0.1sin(πt/3)，b1(t)=0.1+0.05sin(πt/3)，c1(t)=0.2+0.2sin(πt/3)，a2(t)=0.2+0.1sin(πt/3),σ1(t)=σ2(t)=0.01+0.01sin(πt/3),b2(t)=0.1+0.1sin(πt/3)。则有n=p=6。首先看脉冲影响较小的时候，可令：

δ1k(t)=-0.05+0.05sin(πk/3),δ2k(t)=0.05sin(πk/3),tk=k。

式中的-0.05反映了环境在一定程度上受到了污染，食饵作为食物链的底层物种首当其冲，而对于入侵的捕食者来说则影响较小，故而产生两种群脉冲项的差异。模拟程序见附件1[12]，模拟结果如图1所示。

图1 无人类干预时食饵和捕食者的种群密度变化的对比

由参数计算有

由定理3.3知，两种群密度均为持久的，此结论与图1的结果相同。

此处食饵为植被或是食物链的低端物种，生态系统中原来必然存在一些以其为食的消费者，而此处食饵种群密度保持在正常水平的1/6左右，数量变化过大，长久处于此状态，生态系统必然遭到严重破坏。

研究目标是在食饵数量为正常水平的基础上，使入侵的捕食者灭绝。因此，可以改变脉冲项，脉冲项可视为人类对入侵物种的干扰，对食饵不构成干扰。考虑到实际情况更多是，只有当外来物种繁殖生长影响生态环境时，人类才会意识到物种的入侵，故有时间上的延迟，将捕食者的脉冲项修改为

δ2k(t)=-0.25×(k>15)+0.05×sin(πk/3)。

其中(k>15)为逻辑语言，当k>15时，(k>15)=1，当k≤15时，(k>15)=0。这个脉冲项的意思是在第16周期时，人类开始对入侵者进行干预，干预强度为每次使其数量减少1/4。

同样用Matlab得到人类干预时食饵和捕食者的种群密度变化的对比如图2。

图2 人类干预时食饵和捕食者的种群密度变化的对比

由参数计算有

则由定理3.2知，此模型捕食者最终将灭绝，食饵数量最终将持久，与图2的结果相符。

图2为在第16周期人类对入侵生物进行干预，在16周期前，食饵种群密度最小值接近1，为正常密度的1/3左右。考虑到生态系统的自我恢复能力，食饵种群密度最小值会有一个临界比例值，而此临界值会随着生态系统复杂度的不同而不同。假设一个生态系统的此临界值为P0。通过调试Matlab可得表1数据值。

表1 人类不同时间干预时食饵种群的最低临界值

再通过临界值P0与P的比较得出一个临界周期k0。因此，人类要在生物入侵后物种成长的第k0周期前及时干预，才能保证生态系统的可逆恢复。