平面几何推理论证教学的辩证思考

张 昆

（淮北师范大学数学科学学院）

“辩证”一词，通俗地说，就是辨析、考证，引申为争辩与证明的意义内涵.当一个人通过观察与学习掌握了一定的知识，积累了一定的经验，生成了一定的体验后，大多数情况下，不同的人会对同一个问题从不同的视角上产生出不同的意见.因此，他们在一起通过类似辩论的方式阐述各自对面临的问题及其生成解答途径的观点与想法，其本质是个人对自己和对他人的同时批判，从而辨别出问题中所内含的比较正确的结论.在交流的过程中，剔除自己原本想法中的不合逻辑的部分，接受他人合理的内容，参与辩证的人最终会得出共同的结果.这个结果相较于他们原来各自的观点与想法更符合客观事实的内涵，并且可以使相关要素系统化.归根结底，数学课堂教学活动的实质体现就是师生之间、生生之间一种辩证交流的过程.尤其是在平面几何推理论证的教学中，这种辩证过程体现得淋漓尽致.学生也是经由这种辩证来思考与交流，萌生辩证意识，形成辩证思维方式，进而形成辩证思维能力的.对此，我们在几对辩证范畴的制约下，举例加以简要说明.

一、现象与本质

现象与本质是表示事物的表里及其互相关系的，反映人们对事物认识水平和深度的一对哲学辩证法范畴的概念.一般情况下，虽然现象可能将人们引入到非本质的歧途上去，但是，现象终究是引人进入本质的入门向导.人们认识事物的过程总是要透过现象深入到本质，当深入到本质时，便能够将本质运用于新的现象，其他同类现象性的问题便迎刃而解了.因此，在平面几何教学中，由现象探讨产生现象的本质就尤为重要了.但是，这在课堂教学中不是一件容易的事情.它需要教师帮助学生剔除那些由现象引学生入歧途的信息，而最终达到鼓励学生从现象（经由抽象与概括）抵达本质.平面几何的相关教学内容是这一对范畴的极好体现，具体如下面的教学案例.

例1已知：图1中的四个小圆的半径都为a，四个小圆均与大圆⊙O相内切，求图1中的阴影部分和的面积表达式.

图1

师：如何解决这个问题？

学生一时没有解题思路.

师：图1中的阴影面积有三个部分，如何求出这三个阴影部分的面积和呢？

生1：图1中大圆⊙O经由其内切的四个小圆分割之后，可将所求阴影部分看作是一个整体，而整个大圆可以看作由四个阴影图形面积所组成的，从而知道阴影图形的面积和为大圆面积的四分之一，所以阴影图形面积和的表达式为πa2.

生2：我的想法不同于生1的想法.如图2，从大圆的圆心O出发，连接它与小圆的四个内切点，即OD，OM与ON等.很显然，如此将左边的那块阴影图形分割成了面积相等的两块图形，于是，可以将阴影部分图形拼凑成扇形OMN，即四分之一大圆，因此，阴影图形面积和的表达式为πa2.

图2

师：同学们还有其他想法吗？

师：大家还可以通过执行不同的数学观念指令，得到相应的解题方法.这些解法都是从大家自己所摄取的某个视点出发，使用自己已经掌握的数学知识给外在的信息赋予了自己所理解的意义.因此，信息中透露了多少种可以正确理解问题的视点，就会产生多少种解决问题的方法.那么，决定大家得到的这些解题方法的本质是什么？

生3：从这两种成功地解决问题的方法中，我认识到解决此题的本质在于图2中直线ON右边的那两块阴影图形的面积是相等的.于是，这三块阴影图形的面积和就是其中一个小圆的面积.

生3得到的这个结论，从本质上彻底地解决了问题，这就是本质可以统领现象的内涵.通过例1可以发现，教学中必须要通过现象的中介，经由尝试、犯错、摸索、跌跤，使解决问题的方法就是这样产生并前进的，从而揭示解决问题的方法的本质，形成驾驭一切如此问题的操作性方法，从而达到举一反三的目的.

在课下的探究活动中，其他学生还得到了不同于上述两种方法的另外四种方法.

二、普遍与特殊

普遍与特殊是我们经常接触到的既相互对立，又相互依存的一对哲学辩证法范畴的概念.普遍是指同类事物共同具有的状态、属性与变化发展的规律；特殊是指同类事物中的各个事物居其所有的状态、属性和变化发展规律方面的各自不同特点.普遍由众多的特殊所组成，每个特殊都以不同的形式在普遍中表现出来；普遍是特殊的集合体，离开特殊就无所谓普遍.但是，特殊也只有借助于普遍才能表现出来.因此，普遍与特殊是辩证的统一关系.平面几何教学时，往往需要由特殊过渡到普遍，也需要由普遍过渡到特殊，必要时，还需要在普遍与特殊之间来回穿梭，获得解决问题的思路与途径.特别是在探究平面几何证明的辅助线作法时，这一点往往非常重要，我们看以下案例.

例2如图3，E是边长为a的正方形ABCD的对角线交点，正方形EFGH与正方形ABCD相交于点P，Q，求四边形CPEQ的面积表达式.

图3

师：如何确定四边形CPEQ的面积表达式？

学生沉默.

师：大家仔细观察，图3具有怎样的特点？

生1：图3具有操作上的动态特征，若固定了正方形ABCD，则正方形EFGH可以绕着它的一个顶点E进行任意旋转.

师：生1发现的图3所具有这种特点对找到解题的思路具有怎样的启发呢？大家开动脑筋，仔细思考.

生2：既然正方形EFGH可以绕着它的一个顶点E旋转，我们可以将正方形EFGH旋转到一个特殊的位置.如图4，此时EH过点D，EF过点C，即点Q与点D重合，点P与点C重合，然后固定下来，由此，我们可以得到四边形CPEQ的面积为正方形ABCD面积的四分之一，即.

图4

师：很好！然而生2的这种发现是将正方形EFGH旋转到一个特殊的位置观察到的，它处于猜测的状态，可以使用逻辑推理的方式来证明结论成立吗？

问题提出后，学生没有回应.

师：大家可能对探究这种证明的思路有点茫然.其实这很正常，在探究证题的思路时，我们需要有立足之基.我们应该意识到，这种思路的来源在于图形的变化，即从图3变成了图4，图3是一般性的图形，图4是特殊的图形，这个变化过程的依据是什么？

生3：从生2的操作过程中可以看到，他将图3中的四边形CPEQ变成了图4中的△ECD，由此启发我们可以通过在图3中作辅助线完成这个结果.在图3中，连接EC，ED，将图3转化为图5.下面就要在图5中证明四边形CPEQ的面积与△ECD的面积相等.这又可以通过证明△EPC≌△EQD达到目的.因为∠CEP+∠CEQ=90°，∠DEQ+∠CEQ=90°，∠所以∠CEP=∠DEQ.因为EC=ED，∠ECD=∠EDC=45°∠，由三角形全等的判定公理“ASA”，知△EPC≌△EQD成立.于是，四边形CPEQ的面积与△ECD的面积相等，故等式成立.

图5

图6

生4：我采用了另一种操作图形获得固定图形状态的途径，获得了另一种解法.我将图3操作成图6的状态，此时四边形CPEQ为一个小正方形，很显然，此时等式成立.由此启发我作出如图7所示的辅助线，过点E分别作BC，CD的垂线，垂足分别为点M，N，可以证明Rt△EPM≌Rt△EQN，从而完成猜想结论到证明结论的表达.

图7

师：大家经由有效地合作寻找到了两种途径解决问题.其实，这两种途径所需要的方法是相似的.由此，我们可以看到，在某些特定条件下，从操作的结论中产生猜想，是探究解决问题思路的一种有效的手段.

从这道几何探究性问题的两种解决途径中，我们认识并体会到普遍与特殊的辩证关系，普遍往往表现为形式多样，变动不居，从而使解题者看不到问题的主要结果.而特殊性犹如定位与正形，一般地作用于某种结构中的具体环节，恰好突出了普遍性中的某项要素的结论性本质（此题是两个图形面积之间的量性关系），从而为猜想创造了条件，对于猜想结论的准确性给予较高程度的肯定.

在探究平面几何证明问题中辅助线的作法时，针对问题信息所呈现的具体特征，启发我们采用各种各样的图形进行必要的试探.合适辅助线的出现不是神来之笔，而是通过理解碎片化信息逐步显露出基本轮廓.例2的数学化信息特征主要体现于图形的动态性上，这就可以通过操作运动图形中的某些要素，并将这些要素组合成特殊的形态所得到的形式，从而直接得到比较准确的相关结论，然后将在特殊图形特征下所产生的结论普遍化，进而证明这些要素在普遍性的条件下也成立，从而以特殊驾驭普遍，达到化特殊为普遍的目的，探究证明中的辅助线也就由此而自然生成了.

这道题是关于普遍与特殊辩证关系的非常好的体现，普遍与特殊的每次交换都意味着学生对具体问题信息结构进一步的理解与把握，都会使学生辩证思维的萌生与发展向前推进一步，从而使学生逐步生发辩证意识，形成辩证思维的能力.

普遍与特殊互相转化的辩证原理对于教师课堂教学活动中形成合适的教学行为具有很好的指导意义.首先，教师在教学中应该启发学生从普遍到特殊地进行转化活动，促使学生从心理上体会这种转化活动的过程，从而形成深度经验的过程，而不是将教师已经获得的那种具体的特殊化的结果直接告知学生，如此会使学生失去通过摸索活动而形成辩证地处理问题的体验.当学生在特殊性基础上得到问题的结论后，教师还要鼓励学生将特殊转化为普遍，这种转化需要运用到具体的数学知识，进而可以促进学生体会知识原理的重要作用.更为重要的是，学生只有在自己所形成的数学观念的指导下，进行普遍与特殊的交换，才能形成极具个性化地辩证意识，为辩证思维的萌生与发展插上有力的翅膀.

三、无序与有序

无序是指由多元素组成的轮廓或结构和运动状态的不确定性、无组织性或无规则性；有序是指多元素组成的轮廓或结构和运动状态具有确定性、有组织性或有规则性.有序与无序的转化贯穿于自然界的一切变化过程之中，对整个自然界的演化与发展都具有重要意义.因此，这是一对哲学辩证法范畴的概念.在初学平面几何推理论证的活动中，教师要特别注意引导学生将多线条组成的无序图形转化到有序图形，从而启发学生通过探究获得处理几何图形的目的性和秩序性，这样才能形成学生的几何证明能力.教师不要将组织好的具体的证明结果（精致的有序性）直接提供给学生，让学生只能通过记忆教师讲授的方法来处理问题，这样会导致学生分析与综合图形的能力得不到提高与发展.如此会损伤平面几何课堂资源的教育价值.

例3已知：如图8，CD是Rt△ABC斜边上的高.求证：∠CAB=∠BCD.

图8

师：大家利用已知条件在图8中找出一对相等的角.

生1：在图8中，已知△ABC是直角三角形，CD⊥AB于点D，CD将Rt△ABC分割成两个直角三角形，图形的覆盖影响了解题思路.首先要解决分割覆盖问题，使我们容易看清图形本质.

师：这是一个很好的建议，大家可以动手试一试.

学生活动：首先，把△CDB从△ABC中平移出来，得到图9与图10；其次，根据已知条件CD是Rt△ABC斜边上的高，得到∠ACB=∠CDB=90°①和要证明的结论∠CAB=∠BCD②.把图9变换成图11的位置形态.

图9

图10

图11

师：对比图10与图11，大家有新发现吗？

生2：对比图10和图11中的这两个三角形之间角的关系可得：直角都相等，即∠ACB=∠CDB①；结论应相等，即∠CAB=∠BCD②；公共角相等，即∠ABC=∠CBD③.这三个等式中，①和③成立，②是要求证的结论，应该成立.

生3：等式①②③左边的三个角是△ABC的三个内角，右边的三个角是△CBD的三个内角.于是，把这三个等式左、右两边分别相加，就得到了这两个三角形各自的内角和，都等于180°，即∠ACB+∠CAB+∠ABC=180°④，∠CDB+∠BCD+∠DBC=180°⑤.

生4：由等式的性质，知∠ACB+∠CAB+∠ABC=∠CDB+∠BCD+∠DBC⑥.将⑥的左、右两边分别对应地减去①与③的左、右两边，就可以得到等式②成立.

例3的特色在于教师不是直接将探究证明活动的结果提供给学生，而是通过启发学生对图形加以合理地处理，将具有遮蔽、重合等特性的杂乱无章（无序线条）的两个△ABC与△CBD形成了一种有序线条的表达形式，从而依据这种有序的图形表达形式，促使学生将其转化为上述①②③三个式子的有序表达，再从这种有序的图形表达过渡到了有序的算式表达，进而启动了学生完形（“格式塔”意义上）的心理内驱力，从而顺利地解决问题.由式子①②③过渡到式子④⑤，再过渡到式子⑥，这一系列心理活动的建构与转移，都是在教师的启发下，学生自己萌生想法并完成的.这种教学方式正是对新课程理念的体现.

四、结束语

笔者以三个课堂教学实践为例，从辩证法观点来说明数学课堂教学的有效性一定不能背离有效利用数学知识这种有利于学生学习的倾向性，这就需要教师充分利用知识序列与学生心理序列的衔接与整合过程中的有效性，具体体现为对衔接点的起点的确定，从起点到下一个衔接点的顺利过渡途径的选择.其中，知识序列经由教材分析提供，心理序列经由学情分析提供，这种衔接与整合的过程需要教学法分析提供.在分析教学法时，教师要想方设法利用学生心理活动的自展性，针对具体的知识点，悉心研究学生发生认识的自展机制，然后顺势引导学生从已有的数学现实与面临的新学习材料的结合中产生新知识，发展能力，积累经验，完善自展性.