基于思维自然生长的创新教学设计与思考——以“探索勾股定理”一课为例

林日福

（广东省深圳市龙华区教育科学研究院）

一、问题提出

教师的教学应该以学生的认知发展水平和已有的经验为基础.基于思维自然生长的课堂教学，就是创设基于数学知识发生、发展过程，以及学生已有经验的问题情境，唤醒学生已有的认知经验，引导学生探索并获得新知识，感悟数学的内在力量.具体而言，就是通过设计合适的问题序列，让学生在解决问题的过程中自然而然的产生新想法，形成新疑问，发现新问题，获得新猜想，以培养学生发现和提出问题的能力.之后，教师启发学生对猜想进行验证与证明，发展学生的推理意识与推理能力，进而培养学生的理性思维品质.

勾股定理反映了当三角形的形状特殊（直角三角形）时，其三边之间存在特定的数量关系（两直角边的平方和等于斜边的平方）.如何让学生自然的认识到这种关系的存在，并猜想到这个特殊的数量关系呢？基于这个出发点，笔者对北师大版《义务教育教科书·数学》八年级上册第一章第1节“探索勾股定理”一课进行设计，并实施教学，现整理出来，与各位同行探讨.

二、教学设计

1.教学目标与重、难点

教学目标：（1）经历探索勾股定理的过程，培养学生发现问题和提出问题的能力，培养学生从一般到特殊、从特殊到一般的探究问题的数学活动经验，发展学生的空间观念；（2）经历验证勾股定理的过程，提高学生分析问题和解决问题的能力，发展学生的推理能力；（3）在搜集与勾股定理有关的历史文化及证明方法等材料的过程中，感受勾股定理巨大的文化价值，提高学生学习数学的兴趣.

教学重、难点：探索、发现并证明勾股定理.

2.教学过程设计

（1）发现问题.

问题1：已知在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c.

①如图1，当△ABC为一般的三角形时，则a，b，c之间有怎样的数量关系？

②如图2，若∠B=∠C，则a，b，c之间有怎样的新的数量关系？

③如图3，若∠A=∠B=∠C，则a，b，c之间有怎样的新的数量关系？

图1

图2

图3

④通过解决上述三个问题，你有什么想法？

【设计意图】学贵有疑，问题产生于疑问，问题是思维的自然结果.从第①题到第③题，可以让学生认识到，当三角形的形状发生变化时，其三边之间出现了新的数量关系，为形成“当三角形是直角三角形时，其三边是否也存在新的数量关系”这个疑问打下基础.

预设生成：学生由图1得三角形的三边关系为a–b

（2）提出问题.

问题2：如图4，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，那么a，b，c之间有怎样的数量关系？

图4

【设计意图】提出该问题的目的是让学生大胆猜测直角三角形三边之间的数量关系，形成猜想，发展研究问题的能力与经验.

预设生成：由于等腰三角形、等边三角形等特殊三角形的三边之间的数量关系都是“一次”的，这对学生猜想直角三角形的三边关系式会形成负迁移.在教师的启发下，学生会通过画、量、算等办法，努力尝试“凑”出一些式子.无论结果怎样，这种猜想及“凑”的过程，都是学生思维的自然生长，对学生的思维发展极有价值.

可以预见，学生得到的关系式基本都是“一次”的，将这些关系式统一成一个关系式，这不太现实．但笔者认为值得给学生一定的时间，鼓励学生去尝试.同时，教师可以借助几何画板软件，改变直角三角形三边的长度，让学生测量计算，验证猜想.此时，有的学生会有所顿悟，即a，b，c之间的数量关系可能不是“一次”的，而是“二次”，或是其他形式的.这样，新的发现自然而生，学生的思维品质也在这种对思维结果的修正与重构中得到发展．

问题3：如图5，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，且a=b，那么a，b，c之间有怎样的数量关系？

图5

【设计意图】问题3是研究特殊的直角三角形三边之间的数量关系.通过对图5中△ABC的面积用等积法“算两次”，获得关系式a2+b2=c2，为形成新疑问（一般的直角三角形的三边之间是否也存在类似的数量关系）、提出新问题做铺垫，体现从特殊到一般的研究问题的方法，顺利突破从“一次”数量关系式到“二次”数量关系式的思维难点.

预设生成：虽然有前面的猜想做铺垫，但要学生获得数量关系式a2+b2=c2仍是困难的.在多次猜想、拼凑仍没得到结果时，教师适时给出问题3，启发学生探索特殊直角三角形的情况.怎样帮助学生联系学习整式运算法则与公式的经验，对同一个图形（图5）的面积用等积法“算两次”，建立等量关系，以有效突破这个难点呢？教师引导学生有目的的尝试，从多角度围绕三角形的三边a，b，c展开探索，这或许需要花费较多的时间，但这是有价值的.尝试是探索问题的基本方法之一．

与三角形的三边相关的量分别是什么呢？由已知易得a=b，a+b>c，三角形的周长为a+b+c，这些都是一般等腰三角形所具有的性质，没能体现等腰直角三角形的特殊性.△ABC的面积为，即或，这是等腰直角三角形具有而一般等腰三角形所不具有的，且出现了“二次”的代数式，符合前面的猜想.能否围绕面积展开进一步的探索呢？联系探索目标：a，b，c之间的数量关系式，想到用斜边c表示出这个三角形的面积，“算两次”这个思路便呼之欲出.

通过教师的引导，基础较好的学生会有所启发.如图6，作△ABC斜边上的高CD，易得CD=BD=AD.所以.所以.于是，结合a=b，得a2+b2=c2.

图6

图7

教师也可以启发学生利用两个全等的等腰直角三角形，拼成如图7所示的正方形，对这个正方形的面积“算两次”，得.所以.因为a=b，所以c2=2a2.

图8

或启发学生利用四个全等的等腰直角三角形拼成如图8所示的正方形，对这个正方形的面积“算两次”，得，或者2ab=2a2.

上述的探索活动不太容易，但有了学习整式运算法则及公式的经验，学生并不难理解和掌握.通过这样的活动，得出直角三角形的三边满足新的关系式a2+b2=c2就成为思维的自然结果，新猜想自然而生.在此基础上，教师再利用几何画板软件演示，引导学生从实验操作上对结论给予验证．

（3）分析问题.

问题4：通过前面的探索发现，在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，即在图4中，a2+b2=c2.无论是已经推理出在等腰直角三角形中结论是成立的也好，还是测量验证得对任意的直角三角形仍成立也罢，都必须通过证明才能说明这个结论是正确的.该如何证明呢？

【设计意图】通过分析式子a2，b2，c2及式子a2+b2=c2的式结构及式关系，联想到“边长分别为a，b，c的正方形的面积”这个形结构，以及“分别以a，b为边长的正方形的面积和等于以c为边长的正方形的面积”这个形关系，在运用几何图形来解决代数问题的过程中感悟数形结合思想.

预设生成：引导学生证明a2+b2=c2，这是本节课教学的一个难点.突破的方法是要让学生用数学的眼光观察a2+b2=c2的式结构，从而联想到正方形面积的形结构，也就是在任意的Rt△ABC中构造出图9后，证明S正方形BCDE+S正方形ACFG=S正方形ABNM.常用的方法是把分散的两个正方形BCDE和正方形ACFG拼到一起，得到一个新的图形，然后证明这个新图形的面积与正方形ABNM的面积相等，或是把正方形ABNM进行分割，使分割后的几个部分的面积之和等于正方形BCDE与正方形ACFG的面积之和，也就是运用割、补的方法来实现.无论怎样处理，对学生的思维来说都是极大的挑战.但“割补法”是解答此类问题的通性、通法，也是学生比较熟悉的.因此，教师需要激励学生勇敢面对这一挑战.

图9

基础较好的学生会将式子a2+b2=c2与完全平方公式联系起来，对式子作恒等变形后再构造“形”.一是变形为(a-b)2+2ab=c2，联系学习完全平方公式的经验，构造出图10，再通过分割及图形变换得到图11，然后对图11中正方形ABNM的面积“算两次”，得到.也可以运用几何画板软件，通过改变图8中a或b的大小，将Rt△ABC由等腰直角三角形变成一般的直角三角形，图8便变成了图12，然后运用图8的解答经验，对图12中正方形ABNM的面积“算两次”，使问题得以解决.这样，将图9中的正方形ABNM按如图11的方法进行分割，也就成为思维的自然结果.二是将a2+b2=c2变形为(a+b)2-2ab=c2后联系“形”，延长图9中的边CA到点R，使AR=a，以CR为一边作正方形CRST（如图13），对正方形ABNM的面积“算两次”便得解.

图10

图11

图12

图13

（4）解决问题.

问题5：已知在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c.求证：a2+b2=c2.

【设计意图】让学生整理之前分析问题的思路，通过构造图形，证明猜想，培养并发展推理能力．

预设生成：有了图8的解答经验，再结合前面的分析，学生运用图12来证明勾股定理的难度也就大大降低了.

化简后得a2+b2=c2.

当然，在这个过程中，也有学生运用图13来证明.

进一步地，思维灵活的学生会联想到全等三角形的“双垂直”模型，将图13简化为图14，然后对梯形BCRM的面积进行“算两次”.

化简后得a2+b2=c2.

（5）归纳反思.

问题6：简述本节课探索勾股定理的过程.有人说，勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，即勾股定理是第一个把几何与代数联系起来的定理.勾股定理具有巨大的文化价值.请同学们课后查阅、搜集有关勾股定理的历史文化、证明方法等素材，并制作成小抄报，在班内交流展示.

【设计意图】反思、总结勾股定理的发现、证明过程，将知识上升为经验，促进学生思维的再次生长.让学生课后收集与勾股定理有关的历史文化、证明方法等资料，将课内学习延伸到课外，让学生在搜集资料、思考不同证法的过程中，感悟它们之间的内在联系，体会勾股定理所蕴含的巨大文化价值，对培养学生形成良好的数学学习态度，提高学生数学学习的兴趣会产生积极的影响.

三、教学思考

1.要体现知识的内在联系

随着数学学习的深入，学生所积累的数学知识和方法就成为学生的数学现实，这些现实应当成为学生进一步学习数学的素材.选用这些素材，不仅有利于学生理解所学知识的内涵，还能够更好地揭示相关数学知识之间的内在关联，有利于学生从整体上理解数学，建构数学认知结构.有效的课堂教学，除了要解决“是什么？为什么？怎么样？”等知识性问题外，还应研究“从哪里来？怎样来？到哪里去？如何去？”等研究性问题，培养学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力，帮助学生建构良好的数学认知结构.

就本节课而言，问题1挖掘不同三角形之间的内在联系，使学生自然形成问题意识，发现新问题.接着趁热打铁，将隐藏的问题显化出来.在本节课的教学设计里，笔者借用等腰直角三角形，通过对其面积运用等积法“算两次”，获得三边之间的数量关系式（a2+b2=c2），在此基础上，根据由特殊猜一般的思路方法，获得猜想、提出问题，也算是水到渠成，顺理成章．

如何将勾股定理与学生已有的经验联结，获得证明勾股定理的思路方法呢？关键在于将新问题（证明a2+b2=c2）与学生已有的知识经验联系起来，即由式想到形，由a2+b2想到完全平方公式a2+b2±2ab=(a±b)2，由(a+b)2-2ab=c2或(a-b)2+2ab=c2想到构造图形验证乘法公式的思路方法.这样层层联结，步步递进，对图9进行分割或拼接得到图11或图12，或将图9补成图13，都成为数学思考的自然结果，消除了勾股定理证明方法的神秘感.因此，将新、旧知识无痕的联系起来，创设好学生思维自然生长的生长点，促进数学学习的正迁移，帮助学生构建数与形之间的认知结构，是此教学设计追求的价值之所在.

2.要促进学生思维的自然生长

学生数学思维的生长，需要学生在学习数学的过程中进行积极思考，大胆猜测，敢于尝试，严密求证.正如数学家波利亚所说：数学的创造过程与任何其他知识的创造过程是一样的，在证明一个数学定理之前，你先要猜测这个定理的内容，在你完全做出详细证明之前，你需要先推测证明的思路，你需要先把观察到的结果加以综合，然后加以类比，你需要一次又一次地进行尝试．

就本节课来说，无论是运用“算两次”的方法，从计算等腰直角三角形的面积中获得猜想，还是在分析与证明猜想的教学环节里，由式想形，变换式后构造形，对学生来说都是不小的挑战，都需要学生在经历思维的困顿后，从已有的认知经验中得到启发，多次尝试，进而获得感悟.

教学时，教师需要把教学节奏“慢”下来，营造安静的课堂环境，组织学生积极思考，大胆尝试，细心求证，在“慢”教学中实现学生思维的“快”成长.如果教师把这些结果直接展现在学生面前，那么他们就无法体会到“风雨后见彩虹”的艳丽，不能感受到那激动人心的发现，他们的数学思维就难以得到真正的生长．

四、写在最后

可以说，在数学发展的历史长河中，很难有一个定理像勾股定理那样迷人，以至于时至今日，仍有众多爱好者不断对其展开探索.在众多定理的教学设计中，也极少有一个定理像勾股定理那样吸引教师的兴趣，纷纷对其进行教学研究.前面笔者给出自己的教学设计，一方面，是对勾股定理教学的探索永无止境；另一方面，也是被勾股定理本身的魅力所吸引.