“电磁学”分类教学法探讨

高伟吉，孙 畅

“电磁学”是物理学专业一门重要的专业必修课，它是光学、电动力学、电工学、电子线路等后续课程的基础，也是各高校理工科专业广泛开设的一门基础理论课程，因其概念、公式、规律比较多，涉及矢量代数、微积分和微分方程等很多高等数学知识，再加上课程容量大，“电磁学”成为一门学生普遍反映难学的课程，因此优化教学方法、提高学习效率是我们亟待解决的问题.

分类教学法就是把教学内容相近、教学方法相同、物理思想一致的问题放到一起归为一类来研究的教学方法.对于同一类型的内容，物理思想、思维方式、解决方法、计算过程都有相似之处，掌握其中的一个，其它问题就迎刃而解了.分类教学法的好处在于化繁为简、触类旁通、事半功倍.比如，在进行磁场教学时，学生就可以对比电场概念和规律来学习磁场的知识，可以用已经熟知的电场物理思想和思维方式来解决磁场的问题.学生容易学习，还可以节省很多时间，大大提高学生的学习效率.分类教学法还可以充分发挥学生的主体作用.在教学中，教师的主导作用是教授学习方法，学生用此方法主动去学习磁场的规律，遇到困难时，教师再进行指导，充分体现教师的主导作用.在这里针对分类教学法我们要谈以下几个问题：矢量场类教学、三角形积分类教学、介质极化电荷类教学、对称性类教学.

1 矢量场类教学

在“电磁学”中，矢量场有很多种，比如静电场、稳恒磁场、电流场、电位移D场、磁场强度H场，等等，把这些问题归成一类称之为“矢量场类”问题，我们以静电场为例来说明它的特点，描述静电场的物理量是电场强度E，它首先是一个矢量，是空间一定区域各点的函数，因此叫矢量点函数.所以静电场第一个特点是电场强度E是矢量点函数.我们研究静电场是要在整个空间中研究这个物理量，研究空间各点的电场强度E的关系，也就是任意一个闭合曲面的通量和闭合曲线的环流.所以静电场第二个特点为沿任意一个闭合曲面的通量等于它所包围的电量的代数和除以静电场第三个特点为沿任意闭合曲线积分为零，即上就是静电场特点.

在学习稳恒磁场时，教师要发挥主导作用，引导学生找出与静电场相似的内容对比学习.由于同一类知识内容相近，教法相同，物理思想一致，以致思维方式大致相同.所以，用已经掌握的方法学习新知识就比较容易.在学习过程中，学生可以发挥主体作用.首先，学生大致猜测要学的内容，描述磁场的物理量应该为磁感应强度B，它沿任意闭合曲面的通量是什么？有没有和电荷一样的东西？如果有，应该是什么？它沿任意闭合曲线的环流还是零吗？接下来听教师讲授.这样，教师的讲授内容学生就顺理成章接受了.在讲授矢量场其它内容时，我们也用类似方法，不过，这时教学过程中教师的讲授内容适当少一些，学生的主体作用适当多一些，有利于学生学习效率的提高.

各种矢量场规律不都相同，但是都反映有源性和有旋性，抓住这两个性质，这一类问题就迎刃而解了.

我们再来研究一下有源性.静电场是一个有源场，如图1是一对等量异号电偶极子所形成的电场线，正电荷是所有电场线的发源地，电场线从此处发出，就像一个“源泉”，所以，正电荷叫

1.1 矢量场的有源性

在静电场中，电场强度通过任意一个闭合曲面的通量等于它所包围电荷的代数和除以ε0.数学表达式为：“源”，负电荷是电场线的汇聚点，所有的电场线都指向这一点，因此叫“汇”［1］.为了说明“源”与“汇”的问题，请看图2、图3.电场线从正电荷发出，到负电荷终止，“源”就是电场线发出的地方,即正电荷所在处，围绕正电荷作一个小的闭合曲面，电场线从闭合曲面内发出，所以正电荷为“源”.“汇”就是电场线终止的地方即负电荷所在处，同样，围绕负电荷也作一个小的闭合曲面，电场线都汇聚到闭合曲面内部，所以负电荷为“汇”.

图1 一对等量异号的电偶极子所形成的电场线

图2 正电荷是“源”

图3 负电荷是“汇”

在教学过程中值得注意的是，电场线是假想的线，实际是不存在的，“源”与“汇”问题不是直接“看”出来的，只能从它的闭合曲面积分的值正负来判断，闭合曲面积分的值为正时就为“源”，闭合曲面积分的值为负时就为“汇”.比如，从（1）式中右边的电荷为正电荷时，电场强度的通量大于零，相当于从闭合曲面内向外“流出”电场线，所以此处为“源”.同样，从（1）式中右边的电荷为负电荷时，电场强度的通量小于零相当于向闭合曲面内“流入”电场线，所以此处为“汇”.如果（1）式右边总等于零，就叫作无源场或无散场.稳恒磁场就是无源场.在稳恒磁场中，磁感应强度沿任意闭合曲面的通量都等于零，即所以稳恒磁场是无源场.

1.2 矢量场的有旋性

由静电场的安培环路定理得，电场强度绕任意闭合曲线积分为零，数学表达式为：

电场强度绕任意闭合曲线积分为零，这样的电场为无旋场（如图4所示）.

图4 在静电场中电场强度沿闭合曲线为零

比如在重力场中，沿任意闭合曲线重力所做的功为零，即沿任意闭合曲线做功时重力沿曲线方向的投影有时为正有时为负，沿一圈做功正好为零，这样的场叫作做无旋场，也叫有位场或有势场.

如果场量绕任意闭合曲线积分不等于零，这样的场叫作有旋场.比如稳恒磁场的磁感应强度B沿闭合曲线的积分不等于零，等于闭合曲线所圈围电流的代数和的μ0倍，即

比如载流无限长直导线所形成的磁场，它的磁感应线是以直导线上的点为圆心的一系列的同心圆，同心圆圆周所在的平面与直导线垂直，如图5所示.如果我们选一个绕直导线闭合曲线磁场的积分，它不为零，而是等于闭合曲线所圈围电流I的μ0倍，即

所以这样的场叫作有旋场，从磁感应线上看，它是一个无头无尾的闭合曲线，和静电场的电场线有本质的区别.

图5 在无限长直导线中所形成的磁场

1.3 矢量场的分类教学法

虽然矢量场都不尽相同，但是它们有共性，即闭合曲面的通量和闭合曲线的积分，把它们放在一起来研究，必定起到事半功倍的效果.在知识大爆炸时代，教学效果的提高，对于学者和教者都是非常重要的事情.分类教学法可以化复杂为简单，化难为易，使学者更容易掌握，起到举一反三、事半功倍的效果.下面我们再分析一下下面几种矢量场.

第一个是真空中的静电场，它的规律为

所以，真空中静电场是一个有源无旋场，它的源与汇是正负电荷，电场线起于正电荷，止于负电荷，在没有电荷的地方电场线不中断，不能形成闭合曲线.

第二个是稳恒磁场，它的规律为

它是一个无源有旋场，磁感应线没有起点和终点，因此是一个无头无尾的闭合曲线，磁感应线围绕电流旋转.

下面我们再介绍一下另外一种场叫感生电场，它的规律为

它是无源有旋场，当磁场随时间均匀变化时，是无源有旋场，它和稳恒磁场相差不多.当感生电场与静电场放在一起时，形成总电场，其规律为

它是一个有源有旋场，与上面几种电场相比有所不同.

以上这些矢量场，它们可以归为一类进行教学，我们要抓住两点：一是它的有源性，即是有源场还是无源场.二是它的有旋性，即是有旋场还是无旋场，掌握这两点，矢量场问题就迎刃而解.学习完静电场后再来学习其它矢量场时，利用分类教学法，学生就比较容易学习了，可以节省时间，大大提高效率，使学习更轻松.

2 三角形积分类教学

在“电磁学”的教学中，习题教学是非常重要的一环.“电磁学”习题之所以让学生感觉头疼，主要因为习题中的微积分知识运用比较多，它要求学生必须熟练掌握微积分知识.由于电场磁场都具有叠加性，在连续分布的情况下，求电场和磁场就需要积分来解，通常应用微元法.微元法一般先把物理问题转化为数学问题，再把数学问题转化为可积的数学问题，最后运用数学公式计算出结果.在把数学问题转化为可积的数学问题时，其中有一大类运用三角形积分法.这一类问题的解决可以把“电磁学”中很大一部分计算成功化解.大大简化计算的难度，极大地提高学习效率.例题如下.

例1 求均匀带电圆盘轴线上的场强，已知圆盘半径为R，电荷的面密度为σ(σ＞0)，如图6所示.

图6 均匀带电圆盘轴线上的场强(σ＞0)

分析：在解此题时，由于圆盘大小与圆盘到场点的距离可比拟，所以圆盘不能看作点电荷，所以不能直接用公式，那么，我们就用微积分来做.在圆盘中取一个小面积元dS，所带电量为dq，它可以看作点电荷，它所产生的电场为，然后再积分由对称性得E的方向沿轴线方向.

场强dE沿轴线的分量为

在“电磁学”习题中经常出现以上的三角形积分，它们的解题方法基本相同，变量都变成角度积分，dr（或 dx）都变成 sec2αdα（或-csc2αdα）掌握了这种积分方法就等于掌握了一大部分习题的解法，扫清了学习中一大障碍，使学生的解题变得简单.下面再看几个例题来体会一下分类教学法的优势.

例2 一长为l的均匀带电细棒，电荷线密度为λ，设棒外一点P到细棒的距离为a，且与棒两端的连线分别和棒成夹角θ1、θ2，如图7所示，求P点的场强［2］.

本题问题与上面例子的问题是本质不同的问题，但它们的解法都涉及到三角形积分，所以归为一类进行教学，这样可以使学生更方便掌握，提高学习效率.

图7 例2图带电细棒外的一点的电场

例3 求载流直导线的磁场，如图8所示.根据毕奥-萨伐尔定律得：

图8 例3图载流直导线的磁场

例4 求载流螺线管内部轴线上的磁场，如图9所示.

取一个宽为dx环形电流元

图9 例4图载流螺线管内部轴线上的磁场

例5 一半径为R的薄圆盘均匀带电，其电荷面密度为σ若圆盘以角速度ω绕通过圆心O，且垂直于盘面的轴匀速转动，试求轴线上距圆盘中心O为z处的磁感应强度和圆盘的磁矩［2］，如图10所示.

解：

图10 例5图转动圆盘轴线上的磁场

在上面几个例子中，三角形积分形式为

这些三角形积分分两类：一类叫显性三角形积分，这类积分含有角度.如.另一类叫隐性三角形积分，这类积分不含有角度.如对于显性三角形积分，各变量都变成角度积分就可以，对于隐性三角形积分这里没有角度，我们令tanzsec2αdα即可.这里三角形积分一般都化为角度积分，没有角度的引进角度参量后进行积分，此方法是比较实用的方法.

3 介质极化电荷类教学

介质分为两类，一类是电介质，另一类是磁介质.介质问题都比较复杂，但解题的方法都差不多，我们以电介质为例讨论一下介质类的教学.在“电磁学”中，介质的极化电荷是比较难学的，我们把它分成一类来解决，这样就容易一些，介质中有导体存在时，导体带有一定的自由电荷，分界面产生一层极化电荷，那么它们有什么规律呢？下面通过几个例题进行讨论.

例6 在无限大的均匀电介质中，浸入一电量为q0的均匀带电导体球，球的半径为R，求介质中的场强E及电介质与导体球交界面上的极化电荷总量q′，设介质的相对介电常数为εr，如图11所示.

解：

图11 球形导体与介质相接时极化电荷与自由电荷的关系

在极化过程中，介质的分界面产生了一层极化电荷，使得总电荷为没有介质时电荷q0的εr分之一.总电荷变成原来εr分之一，场强当然也变成原来εr分之一.

如果把导体球换成圆柱形，导体亦有上面的结论，请看下面例题.

例7 长直导线和它同轴的的金属圆筒构成圆柱形电容器，其间充满相对介电常数为εr的均匀电介质（见图12）.设导线的半径为R1，圆筒的内半径为R2，导线上的自由电荷的线密度为λ0，略去边缘效应，求：

（1）电介质中的电场强度E、电位移D和极化强度P；

（2）两级电势差U；

（3）电介质表面的极化电荷面密度σ′.

图12 柱形导体与介质相接时极化电荷与自由电荷的关系

解：（1）在金属圆筒内任取一点M，过M点作一与圆筒轴同轴的圆柱面，圆柱面的高为h，以此圆柱面为高斯面，由有介质的高斯定理得：

（3）在R1柱面上自 由 电 荷.总电荷是自由电荷

在R柱面上，同理2

以上两个例子中具有一个共同特性，都是一个无限大介质中有一块导体.不同的是一个是球形导体，另一个是圆柱型导体.导体与介质分界面有一层极化电荷，它与此处的自由电荷成正比，它们求解方法基本相同，都是利用有介质高斯定理求解电位移D，再求场强E，由场强再求极化强度P，最后由极化强度求出极化电荷面密度σ'.这时极化电荷面密度σ'与原电荷面密度σ0相加就是新的电荷面密度σ，它是原来电荷面密度σ0的εr分之一，那么，这个结论是否具有一定的普遍性呢？对于导体不具有一定的对称性的任意情况呢？结论还成立吗？下面请看例题8.

例8 如图13中A为一块金属，其外部充满电介质，已知交界面上某点的极化电荷面密度为σ'，该点附近电介质的相对介电常数为εr，求该点自由电荷面密度σ0.

图13 任意形状导体与介质相接极化电荷与自由电荷的关系

解：在导体表面处垂直于表面并且指向外部为正方向en

由上述三个式子可得

4 对称性类教学

在教学中应用高斯定理、安培环路定理求电场求磁场是屡见不鲜的，但是不是任何情况下都可以求得的，需要电荷或电流具有一定的对称性.对称性分为球对称、轴对称和面对称等，如高斯定理，已知电荷分布，一般根据此式很难求出场强E的，要想求出场强，场强E在高斯面上必须是常数才能从积分中求出，这就要求有一定的对称性，请看下面几个例题.

例9 求均匀带电球面产生的电场，已知球面的半径为R，电量为q，如图产14所示.

解：（1）分析电场分布的对称性.

由于电荷的分布具有球对称性，所以电场分布也应该具有球对称性.即距球心相等的点的场强与球心对称，也就是场强大小相等，方向沿径向方向.如果以这样的面为高斯面，那么高斯面的积分场强E与dS方向相同，点乘之后为标量并且E是常数可以积分中提出，可求出场强.

（2）取高斯面.r＞R

取过p点以原球心为球心的球面为高斯面.

（3）计算高斯面所包围的电荷.

图14 例9图均匀带电球面产生的场

（4）应用高斯定理.

r＜R，E⋅4πr2=0，E=0，E与r的关系如图15所示.

图15 例9图 均匀带电球面产生的场的场强E与r的关系

如果电荷q均匀分布在球体内，可以用同样的方法计算电场强度.

E其关系如图16所示.

图16 例9图均匀带电球体产生的场的场强E与r的关系

图17 例10图无限长均匀带电直线产生的场的场强

对于其它球对称分布的电荷形成的场也都是球对称的场，应用上述方法都可以解决，如果电荷是轴对称时，它的电场也是轴对称分布的，即距离轴线相等的各点大小相等方向沿径向方向.即在与轴线同轴圆柱面上，如图17所示.场强E与dS方向相同，点乘之后为标量并且E是常数可以积分中提出，可求出场强.这是侧面，还有底面，对于底面E与dS方向垂直点乘为0，这项可以等于0，这样就可以求出场强了.请看例题.

例10 设有一无限长均匀带电直线，已知电荷线密度为λ.求距直线为r处的电场强度.

解：

例11 一圆柱形的长直导线，如图18所示，截面半径为R，稳恒电流均匀通过导线的截面，电流为I，求导线内和导线外的磁场分布.

图18 例11图 圆柱形直导线内外的场

解：

B，其关系如图19所示.

图19 例11图 载流圆柱形直导线磁场B与r的关系

在“电磁学”中，用对称性求电场或磁场是非常普遍的，基本上贯穿于整个教材，这种方法应牢牢掌握.

5 结语

分类教学法对教学的帮助是很大的，复杂问题变得简单，学生学习起来就轻松多了，能够达到事半功倍的效果，学习效率就会明显地提高.