方程选择对对碰

邵贤虎

周二下午第三节课，月月数学沙龙又准时开始了！

师 同学们，最近我们正在学习解析几何中有关直线与圆的内容，大家也都知道直线方程的五种形式，以及圆的方程的两种形式，那我们今天就从方程形式的选择谈起，作为我们本次数学沙龙的开端. 第一次选择 两种通法对对碰 师 请同学们看下面的一个基本问题. 已知圆过点A（l，2），B（3，4），且在z轴上截得的弦长为6，求圆的方程.

求圆的方程应采用怎样的基本方法？

生 待定系数法，

师 那我们应该选择圆的一般方程呢，还是标准方程？

生1 已知条件中给出了圆过两点，没有给出圆心坐标，我觉得设圆的一般方程比较好，解决如下：

设圆的方程为

生2 这道题的条件中有弦长这一条件，所以我觉得选择圆的标准方程也完全没有问题，解决如下：

师两个同学谈得都很好！圆的一般方程和标准方程本质一样，但具体解题时各有所长.圆的一般方程用来解决已知圆上点时的问题较好，而圆的标准方程则可解决和圆心、半径以及弦长相关的问题.

第二次选择 三种角度比比看

师下面我们再来看一个直线和圆的位置关系的问题.

已知直线l：y=kx+I，圆C：（x-1）²+（y+1）=9.

试证明：不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点.

师 同学们思考一下，判断直线和圆的位置关系有几种方法？

生 有两种基本方法：代数法和几何法.

师 我们请两位同学具体来说说，

生1我喜欢用代数法，解决如下：

则此方程有两个不同的根.

换句话说，就是此时直线与圆有两个交点，

所以不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点.

生2 因为圆是一个非常完美的几何图形，我认为用几何法比较好，能充分挖掘圆的平面几何性质，解决如下：

要证直线与圆有两个交点，即可转化为证明圆心到直线的距离小于半径即可.

所以不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点.

生3我发现了一个很简单的方法：

不论k为何实数，直线l总过定点A（O，l）.

即不论k为何实数，直线l总经过圆C内部的定点A.

所以不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点，

师非常好！三个同学恰好谈了解决直线和圆问题的三个角度，从解题实践来看，运用几何的方法解决直线和圆的问题，直观而简洁;如果利用代数的方法，计算量较大，但是比较容易理清思路，掌握较为常规的解题方法;至于第三种角度，则是在综合了代数与几何的方法之后，解题更有技巧，更上一层楼的表现，抓住实质，一击即中.最后一种解法是不是很难想到呢？其实也不是，只要画个草图（学解析几何的好习惯），观察k变化时直线l：V=kx+l与圆的位置关系，就不难看透本题的“玄机”了.

第三次选择 四种感觉慢慢品

师最后我们来讨论直线和圆中一道非常经典的问题.

过圆x²+y²=2外一点M（l，-3），作圆的两条切线MA，MB，切点分别是A，B，求直线AB的方程.

生1 我的第一感覺就是求出A，B的坐标，解决如下：

切线的斜率不存在时，其方程为x=l，不满足题意，

则可设切线方程为y+3=k（x-1），即kx-y-k-3=0.由两点式可求得直线AB的方程为x-3y-2=0.

生2生1的方法确实最容易想到，但是计算过程繁复，运算量过大，我感觉还可以通过两个圆的公共弦方程来得到切点弦方程，解决如下：

生3生2的解法好，而且计算量少很多，受到他的启发，我感觉还可以这样选择，如果选择另外的一个圆和已知圆相交于点A，B，计算也很简单，具体解决如下：

则以M为圆心，MA为半径的圆的方程为（-x1）²+（y+3）²=8，即x²-2x+y²+6y+2=0.

由x²+y²=2与x²-2x+y²+6y+2=0相减，得两圆公共弦AB的方程为x3y-2=0.

生4其实，如果我们平时对切线方程有所研究的话，完全可以直接写出MA，MB的方程，然后求解，具体如下：

设切点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），

则切线MA的方程为x_1*+y₁y=2，切线MB的方程为x₂x+y₂y=2.

因为两直线都过点M（l，-3），所以x₁-3y₁=2且x₂-3y₂=2.

则由过两点确定一条直线可得，弦AB的方程为x-3y-2=0.

师 以上四位同学给我们呈现了四种不同的解法，各有特色，生1的解法很朴实，但往往运算量会很大，同学们都要掌握;生2和生3的解法本质一样，但选择的圆不一样，也就别有一番风味;生4的解法体现了他对这部分内容最基本、最本质的理解，也说明了他平日里对这方面的问题有过深入的探究，从而更进一步，解题才能达到举重若轻的层次，希望大家向生4学习.

师我们在解题过程中经常面临选择，如何选择合适的解析式，如何选择合适的方法，如何选择简单的算法……平时我们应加强这方面的思考，比较优劣，提升能力.今天的沙龙到此结束，期待下次的到来.