追根溯源，回归课本

渠东剑

本学年我代高一的数学课，上学期发生的一幕，我至今记忆犹新.我的一些学生因此而改变了学习方法，数学学习重视课本，会用课本了，学习就能取得明显的进步.

我相信，这个故事对大家肯定是有启发的.

一、背景

在学习“函数的单调性”之后，我给学生布置了一道课本上的题作为书面作业题：

已知函数y=f（x）的定义域是[a，b]，a

当x∈[a，c]时，f（x）是单调减函数;

当x∈[c，b]时，f（x）是单调增函数.

求证：f（x）在x=c时求得最小值.

在批改作业时发现，小明同学的解答如下，其他大部分同学的证明与之类似：

如图1，当x∈[a，c]时，f（x）是单调减函数;当x∈[c，b]时，f（x）是单调增函数，所以f（x）在x=c时取最小值.

你认为小明的证明正确吗？

小明说的没错，画出图形说明他对题目是理解的，

问题是这样的表述算证明吗？怎样证明呢？我决定和同学们一起回到课本中去.

二、经过

课外活动，我（记为D）把他们（记为S）叫到办公室，并让他们把课本带着，下面是当时对话的要点：

D 首先要弄清楚“它是什么”，什么叫函数的最小值？

S 函数值没有比它更小的了，它本身要是函数值.

D概念你可能是理解的.但是，你怎样才能很清楚地说明这些呢？你还能以另一种形式表述吗？比如用数学符号语言.

S这……（摇头）

D 遇到搞不明白的问题怎么办？

S 问老师啊.

D 老师不可能总在你身边啊，除了问老师，还有什么办法吗？

S……哦，看课本.

D 那你们现在就——

（同学们马上打开了课本，找到课本上的“最小值的概念”：一般地，设函数y=f（x）的定义域为A，如果存在x₀∈A，使得对于任意的x∈A，都有f（x）≥f（x₀），则称f（x）在x₀处取得最小值f（x₀）

D课本上的定义找到了，你怎样把定义用到具体的问题上去？

S …

D或者说，要证明本题的结论，必须要完成怎样的过程？

（同学们进行了讨论，把一般定义落实到具体的问题上，认识到要证明：对任意的x∈[a，b]，都有f（x）≥f （c），找到了解决问题的切入点.）

D 看来要先设任意的x∈[a，b]，下面怎样证明呢？请结合题目具体条件分析.

S 由于已知“当x∈[a，c]时，f（x）是单调减函数;当x∈[c，b]时，.f（x）是单调增函数.”应该分x∈[a，c]和x∈[c，b]两种情况.

D 当x∈[a，c]时，怎样证明f （x）≥f（c）？“条件f（x）是单调减函数”怎样利用呢？单调性的定义是什么呢？

（同学们又一次打开课本，再一次理解“……x₁2