站在巨人的肩膀上耕耘——《等差数列》（第一课时）教学设计

上海市北虹高级中学 商轶玮

板块一：基于APOS理论的概念教学设计

APOS理论是美国数学教育家杜宾斯基（Ed Dubinsky）在20世纪80年代提出的一种关于数学概念学习的新理论，被誉为近年来数学教育界最大的理论成果之一。

1.活动阶段（Action）——创设情境，引入新课

问题1：在过去的三百多年里，人们分别在下列年份观测到了哈雷彗星，你能否预测到它下次出现的时间？

1682，1758，1834，1910，1986，（ ）

问题2：观察下面两个数列，找规律填空。

（1）1， 4， 7， 10， （ ）， 16，…

（2）2，0，-2，-4，-6，（ ），…

对于问题1，由于有生活中的直观背景，而且还涉及了天文学的知识，学生很感兴趣，很快找到了规律，并计算出答案。问题2起点比较低，学生很容易得到正确答案。

2.过程阶段（Process）——思考内化，抽象特征

问题3：请归纳出上述3个数列之间有什么共同特点？

生1：每个数列的相邻两项的差都是固定的。

师：像 1，2，1，2，1，…，这样也可以么？

生1：不是的，应该规定顺序，是相邻两项的后项减去前项，或者前项减去后项的差是定值。

师：好，我们称这样的数列为等差数列。那么同学们能给等差数列下个准确的定义么？

即使同学没有给出标准答案，也不要急着否定，因为这不正是思维不断完善的真实过程么？

3.对象阶段（Object）——赋予定义，具体符号

问题4：等差数列的定义是什么？

生2：如果一个数列的每一项与它前一项的差是同一个常数，那么这个数列叫等差数列。

师：那么第一项的前一项是…？

生2：（补充）应该加上“从第二项起”。

生3：那就直接改成“如果一个数列的每一项与它后一项的差是同一个常数，那么这个数列叫等差数列”不就行了。

生4：那有穷数列的最后一项又没有后一项。

（讨论后，大家达成共识，翻看书本得到印证）

师：请大家再用数学语言描述等差数列的定义。

4.图式阶段（Schema）——剖析定义

板块二：建构主义指导下的方法教学设计

皮亚杰（J.Piaget）关于建构主义的基本观点是：个体与环境的相互作用涉及两个基本过程：“同化”与“顺应”。他认为同化是指个体把外界刺激所提供的信息整合到自己原有认知结构内的过程；顺应是指个体的认知结构因外部刺激的影响而发生改变的过程。认知个体通过同化与顺应这两种形式来达到与周围环境的平衡。

问题6：设{an}是一个首项为a1，公差为d的等差数列，你能推导出该数列的第n项an关于项数n的表达式吗？（同学以小组为单位进行探究，教师巡视并实物投影展示成果）

解法一：∵a1=a1+0·d，a2=a1+1·d，a3=a1+2·d，…，∴an=a1+（n-1）d。

解法二：∵a2-a1=d，a3-a2=d，a4-a3=d，…，an-an-1=d（n≥2），把这（n-1）个式子相加，得到an-a1=（n-1）d（n≥2），即an=a1+（n-1）d（n≥2）。验证n=1时也符合上式。

大部分学生采用解法一，采用解法二的学生只有少数。显然，对于归纳法，在同学的认知结构中作为基本数学体验是存在的，因此很自然地运用，是一个“同化”的过程。但是应当及时指出这种方法属于不完全归纳，还要加以证明来保证结论的准确性。对于解法二，是同学接触不多的累加法，需通过讲解纳入知识体系使学生认知发生改变，是一个“顺应”的过程。因此，这两种方法在课堂上呈现的方式和分配的时间就应该有所不同。解法二应重点讲授，这样才能让同学头脑中的知识从“无”到“有”，从“有”到“全”。当然，备课时教师还应预设其他方法，以适应课堂生成。

板块三：核心素养背景下的思想方法教学设计

《普通高中数学课程标准（征求意见稿）》中明确指出：“数学核心素养是具有数学基本特征的，适合个人终身发展和社会发展需要的思维品质与关键能力。”林崇德教授曾经给出了这样的指导意见：“核心素养具有可教、可学的外显部分，同时也存在无声、无形但可感、可知的内隐部分。”落实在课堂教学上，不仅注重基础知识与基本方法的传授，还应注重基本数学思想方法的渗透。

问题7：是否等差数列{an}的通项公式都能表示成an=k·n+b（k，b为常数）的形式？试从函数的观点出发，形成等差数列的图形语言。

生：由等差数列的通项公式，可以提炼出通项公式an关于n的一次表达式为an=dn+（a1-d），所以相当于定义域为正整数集的一次函数，d＞0时，是向上的排成一条直线的一列点；d＜0时，是向下的排成一条直线的一列点；d=0时，是水平的排成一条直线的一列点。

问题8：在等差数列的通项公式中，有四个量——a1，n，d，an。知道其中的任意三个量，就可以求出另一个量，即知三求一。请你从方程的观点出发，试着出几道题目，让同学来解答。

同学们跃跃欲试，编出了很多精彩的题目。

函数与方程的思想是高中数学的四大思想之一，如能合理掌握并运用数学思想来解题和思考，则如虎添翼。数学思想的形成并非一朝一夕、一蹴而就的，需在课堂教学中不断加以引导和渗透。

古今中外的教育大师给我们留下了绚丽的文化瑰宝，今天的我们好比是站在巨人的肩膀上从事教学活动和研究，在学习中收获，在教学中实践，在耕耘中快乐。