一类数量积问题的求解策略

沈春妹

近日，笔者拜讀了胡国生、黄增勇老师的研究成果（文[1]）后，对其中的“调研题2”的解法感兴趣，文中通过基底法的三种途径和坐标法两种途径分别阐述了男女生在数学思维品质的差异性，笔者关注的是，就解法而言，该题运用极化恒等式求解更见简捷，且解法具有一定的普适性.

1 问题再现

2 应用

评注 本题运用极化恒等式巧妙地把数量积的最值转化为含单个变量型的最值求解问题.

评注 本题不论使用坐标法还是基底法都比较繁琐，而用极化恒等式转化，巧妙地找出了最小值具备的条件，再由平面几何性质“等腰三角形三线合一”求解.

运用极化恒等式的关键在于“中点”，充分利用三角形的中线和第三边，在求解数量积或其范围时，通过极化恒等式可将多个变量转化为单个变量，再利用数形结合等方法求出值或范围，当然，对学生而言，极化恒等式本身就是一个难点.

3 拓展

当且仅当a=b时取得最小值2.

极化恒等式在教材中并未出现，但是通过教师的引导，能成为求解较难数量积问题的一把利刃，每一道数学试题的解法可能不唯一，优化解题的路径与方法势在必行，同时通过多角度审视帮助我们接近问题的深层结构，另一方面沟通了不同知识也帮助我们优化认知结构.

参考文献

[1]胡国生，黄增勇.高中数学课堂中数学思维差异的探究[J].二中学数学教学参考（上旬），2017 （10）：21-23