高一解析几何初步教学的“适度”解读

汪清珠

解析几何是用代数方法来研究几何问题的一门数学学科，在建立的坐标系中，平面上的点能够与有序实数对之间建立起对应关系，从而使平面上某些曲线与某些方程之间建立对应关系;使平面图形的某些性质（形状、位置、大小）可以用相应的数、式表示出来;使平面上某些几何问题可以转化为相应的代数问题来研究.学习解析几何，要特别重视以下两方面的问题：（1）熟练掌握图形、图形性质与方程、数、式的相互转化和利用;（2）与代数、三角、平面几何密切联系和灵活应用.

高一必修二的解析几何包括两个章节的内容：直线与方程、圆与方程，这一部分内容的教学奠定了高中解析几何教学的基础，应该引起高一数学教师重视，这部分的教学不单单是知识本身，还有相关的思想方法，处理问题的办法等等，在以往的教学过程中，笔者发现有的学生甚至有的教师会觉得只要能解决问题就可以了，忽略了其他一些方法的教与学，这样处理高一解析几何初步的教与学是非常危险的，这对于学生今后的学习发展其实是相当不利的，以下笔者从两个方面来解读高一解析几何部分教学的适度问题：

1直线与方程部分

两条直线的平行和垂直的判定以及根据两条直线的平行或垂直求参数的问题是回避不了的问题，由于在教学的时候会先涉及到直线的斜截式，因此学生最先接触到的必然是如何利用直线的斜率和截距去判断两条直线的位置关系，两条直线的平行和垂直的等价条件.这一方法在教材里也有明确的例题阐述说明，分类讨论的思想在这里也得到了落实.

对于高一的学生而言，上述要求是比较高的，但也是必须掌握的.

由于在学完直线的一般式方程后，教材没有再补充如何应用直线的一般式方程判断两条直线的位置关系，两条直线的平行和垂直的等价条件在这种形式下又是什么，没有再进行明确的阐述，仅在课后习题中设置一道证明两条直线垂直的问题，有的教师甚至提出对于两直线平行或者垂直在直线方程一般式下的等价条件不予教学，全部要求学生分类讨论，考虑直线斜率存在与否，直线斜率存在问题转化为斜截式进行判断求解，笔者觉得这种教学方式非常的片面，是不可取的，直线方程的一般式作为适用范围最广的形式，在题目设计中是最为常见的，而且作为直线一般式方程更一般的结论，是应该让学生知道并掌握，因此，在教学过程中有必要给出直线方程一般式的相关结论及相应证明，相关结论如下：

已知直线l1：A1x+ B1y+C1=O（A1，B1不同时为0），l2：A2X+ B2y+C2=0（A2，B2不同时为0），

（1）l1//l2 A1B2-A2B1=0，且B1C2-B2C1≠0，或A1C2 - A2Cl≠0;

（2）l1⊥l2 A1A2+B1B2 =0.

以下通过一道例题来比较两种不同解法，孰优孰劣可一目了然.

2圆与方程部分

圆与方程的部分一定会涉及到直线和圆的位置关系、涉及到直线和圆相交相切等相关问题的求解.

众所周知，圆是非常简洁完美的几何图形，因此在解答有关圆的问题时我们不仅有代数法，还有基于圆的几何性质的几何法，这两种方法在教材里都有详细的阐述，对于这两种方法，教材都是明确要求掌握的，但是在实际教学讨论及教学实施过程中，有的教师会有这样的想法，认为代数法较为繁琐，因此不予讲授，要求学生要用几何法来解答问题，以避免发生计算量大，计算错误的情况，笔者认为这样的教学也是非常片面的.

比如以下例题：

同样的问题在求两圆的公共弦时也会出现，如果像某些教师那样认为交点法和利用弦长公式这两种代数方法较为繁琐，不予讲解，那么学生的思维就没有得到开发，解析几何的核心并没有得到体现，这会给学生后续学习圆锥曲线埋下了隐患.

因为解析几何是在建立的坐标系中，平面上的点能够与有序实数对之间建立起对应关系，从而使平面上某些曲线与某些方程之间建立对应关系;使平面图形的某些性质（形状、位置、大小）可以用相应的数、式表示出来;使平面上某些几何问题可以转化为相应的代数问题来研究，很多解析问题并不是都可以用几何法来解决的，学生应该在高一学习直线和圆的时候就建立起这种意识，作为教师应该注意引导，而不是追求纯粹的解题正确率，而忽视了数学核心思想方法的教学.

数学是研究数量关系与空间形式的一门科学，是一切科学和技术的基础，是我们思考和解决问题的工具，不同于欧氏几何把几何与逻辑思想结合起来，用逻辑推理方法研究几何问题，解析几何通过坐标系，把几何中的点与代数的基本研究对象数（有序数对）对应，然后建立图形（曲線）与方程的对应，从而把几何与代数紧密结合起来，用代数方法解决几何问题，这是数学的重大进步.

因此，在解析几何初步的教学中，教师应该引导学生学会在平面直角坐标系中建立直线和圆的代数方程，能够运用代数方法研究他们的几何性质及其相互位置关系，体会数形结合的思想，初步形成用代数方法解决几何问题的能力.