一道高考试题的多解、多思与多变

虞懿

2017年高考已经落下帷幕，笔者特别关注了全国卷I理科第10题，这是一道集抛物线的方程、直线与抛物线的位置关系、焦点弦长之和的最值问题等知识于一体的综合性客观题，此题看似平淡，却精彩纷呈;看似常规，却彰显能力，本文拟从一题多解、一题多思与一题多变等角度作一探析，供读者参考.

1题目再现

例（2017年高考全国新课标卷I.理10）已知F为抛物线C：y2= 4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线f2与C交于D，E两点，则|AB|+|DE|的最小值为

A.16

B.14

C.12

D.10

2立意解读

本题题面简洁、意境幽深、内涵丰富，可以从多个角度思考求解，细细赏玩，感觉韵味十足，本题主要考查了抛物线的定义、直线和抛物线的位置关系、焦点弦及其应用，旨在考查学生的逻辑推理，数学运算等核心素养.

3解法探究

3.1一题多解

一题多解就是利用不同的思路，不同的知识，不同的方法达到解题的目的，它不仅改变了以往学生单一的思维模式，而且还可以有效地培养学生的创新能力和分析问题、解决问题的能力，

评注 直线与抛物线联立，求判别式、利用韦达定理是通法，需要重点掌握，涉及到最值问题，要能想到用函数方法解决或利用基本不等式解决，

评注 对于抛物线弦长问题，重点要抓住抛物线定义，可将抛物线上的点到焦点的距离转化为该点到准线的距离，

评注 凡涉及圆锥曲线的焦点弦、焦半径问题，选用极坐标系，常常会使解题步骤简洁、方便，本题中要求的问题与焦点弦有关，应当建立以焦点F为极点，对称轴为极轴的极坐标系，不能受直角坐标方程的束缚而把极点选在原点，灵活合理地建立极坐标系十分重要，

评注 运用直线的参数方程，利用参数t的几何意义直接求解，运算更为简洁、明了.

3.2一题多思

本题载体为直线与抛物线，考察的是解析几何的通性通法，解析几何的本质是用坐标法研究几何性质（量），我们在解题时一定要从数与形两个角度入手，不可偏颇一方，既要弄清图形的几何特征，又要熟练应用各种代数工具（解方程组、弦长公式等），多方联想，选择适当的方法解题，

题目丰富的内涵是展开“一题多解”的基础，这要求教师在试题讲评之前认真研究试题，对试题的内涵及其考查情况要了然于胸，选择内涵丰富、学生易错、思维价值高的试题做重点讲评，本道试题不仅问题典型，解法丰富，而且有助于提高学生对解析几何本质的深度理解，因此，对这样一种一题多解，又有一定教学意义的题目进行重点讲评，做到讲深讲透，可以有效摒弃“题海战术”，提高解题教学的有效性，

体会其思想是展开“一题多解”活动的灵魂，数学万变不离其宗，不管高考怎么考，都离不开考查数学的最基本的思想方法，

高中数学思想尽管不少，但总的看来主要也就四大数学思想，即函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想，这些都是高中数学的精髓，但这些“思想”有时只能意会，教学中教师往往也只能是“滲透”，这就要求教师在复习中要贯穿始终不离主线，也要培养学生在实践中实现自我领悟，在反思中重构自己的经验，形成自己的行动策略和方式，使得只能意会的知识变成可能.

3.3一题多变

新课标指出：“数学教学活动应激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维，”众所周知，数学是思维的体操，要使学生学好数学，还是要从提高学生的数学思维能力和学习兴趣上下功夫，在数学教学中，利用教材中的例习题和经典的高考试题进行一题多变，把一个题目反复变化为多个与原题内容不同，但解法相同或相近的题目，有利于深化知识，举一反三，触类旁通，使学生主动探讨、发现问题、解决问题，真正“学会学习”，这是发展学生思维的深刻性、灵活性、创造性的一条有效途径，

变式1已知椭圆c：X2/8+Y2/4=1，过左焦点F1（-2，0）作两条互相垂直的直线分别交椭圆C于点A B和D，E，求|AB|+|DE|的最小值，

变式2 F是抛物线G：x2 =4y的焦点，设A，B为抛物线G上异于原点的两点，且满足FA·FB=0，延长AF， BF分别交抛物线G于点C，D，求四边形ABCD面积的最小值，

变式3 已知AC，B为圆O：x2+y2 =4的两条相互垂直的弦，垂足为M（1，√2），则四边形ABCD面积的最大值为____.

变式4 设圆X2+y2 +2x-15=o的圆心为A，直线l过点B（1，0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过点B作AC的平行线交AD于点E.

（I）证明|EA|+|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程;

（II）设点E的轨迹为曲线C1，直线，交Cl于M，N两点，过点B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围，

变式5 已知椭圆c：x2/4+y2/3=1，过右焦点F作两条斜率之积为-2的直线分别交椭圆C于点P，Q和M，N，则四边形PMQN的面积S的最小值为___-，

变式6 已知AC，B为圆O：x2+y2 =4的两条相互垂直的弦，垂足为M（1，√2），当四边形ABCD为等腰梯形时，试求四边形ABCD周长的最大值，

在习题教学中适当地采用“一题多变”，可以对高考题进行大胆的组合与拓展，但要由易到难，体现数学的层递性，使学生的思维得到自然发散，而不感到突然，通过题目间相近或相似的联系培养学生的观察能力，用不同的思路去分析思考，能够极大地锻炼学生类推能力和归纳能力，有助于启发学生分析思考，逐步把学生引入胜境，从而开拓学生视野，增强分析问题的能力，发展创造性思维，

总之，题目是做不尽、探不完的，《庄子·养生主》中说：“吾生而有涯，而知也无涯，”通过对2017年高考全国卷I理科第10题的探析，笔者有一种感触：学生在考场上的思路探寻，教师在考后的解法探究，命题者在命题时的顶层设计，俨然构成了一幅李白笔下的“举杯邀明月，对影成三人”的精彩且具有浓厚新课标风味的美妙画卷.