二次函数的新题型

文 /方震军

二次函数是初中数学的重要内容，也是新题型的重要素材.现把与二次函数相关的新题型归纳如下.

一、规律探究型

例1一列自然数0，1，2，3，…，100，依次将该列数中的每一个数平方后除以100，得到一列新数．下列结论正确的是（ ）.

A．原数与对应新数的差不可能等于零

B．原数与对应新数的差，随着原数的增大而增大

C．当原数与对应新数的差等于21时，原数等于30

D．当原数取50时，原数与对应新数的差最大

解析：设原数为a，则新数为

设新数与原数的差为y，则

当a=0时，y=0，选项A错误；

当a＜50时，y随a的增大而增大，当a＞50时，y随a的增大而减小，因此，选项B错误，选项D正确；

当y=21时，由，解得a1=30，a2=70，选项C错误．

选D．

二、图象信息型

例 2图1是二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的一部分，与x轴的交点A在（2，0）和（3，0）之间，对称轴是x=1．对于下列说法：①ab＜0；②2a+b=0；③3a+c＞0；④a+b≥m（am+b）（m为实数）；⑤当-1＜x＜3时，y＞0.其中正确的是（ ）.

A．①②④ B．①②⑤

C．②③④ D．③④⑤

x=，∴2a+b=0，②正确；

∵2a+b=0，∴b=-2a，抛物线与x轴交点的横坐标x0，x1，且x0＞x1,则2＜x0＜3，由对称性可得-1＜x1＜0，∴当x=-1时，y=a-b+c＜0，∴a-（-2a）+c=3a+c＜0，③错误；

由图象可知，当m=1时,函数有最大值；当m≠1时，有am2+bm+c＜a+b+c，所以a+b≥m（am+b）（m为实数），④正确；

由图象可知，当-1＜x＜3时，y不一定都大于0，⑤错误．

选A．

图1

三、新定义型

例3小贤与小杰在探究某类二次函数问题时，经历了如下过程：

求解体验

（1）已知抛物线y=-x2+bx-3经过点（-1，0），则b=______，顶点坐标为______，该抛物线关于点（0，1）成中心对称的抛物线的表达式是______.

抽象感悟

我们定义：对于抛物线y=ax2+bx+c（a≠0），以y轴上的点M（0，m）为中心，作该抛物线关于点M对称的抛物线y′，则称抛物线y′为抛物线y的衍生抛物线，点M为衍生中心.

（2）已知抛物线y=-x2-2x+5关于点（0，m）的衍生抛物线为y′，若这两条抛物线有交点，求m的取值范围.

问题解决

（3）已知抛物线y=ax2+2ax-b（a≠0）.

①若抛物线y的衍生抛物线为y′=bx2-2bx+a2（b≠0），两抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，求a，b的值及衍生中心的坐标；

②若抛物线y关于点（0，k+12）的衍生抛物线为y1，其顶点为A1；关于点（0，k+22）的衍生抛物线为y2，其顶点为A2……关于点（0，k+n2）的衍生抛物线为yn，其顶点为An（n为正整数）.求AnAn+1的长(用含n的式子表示).

解析：（1）把（-1，0）代入y=-x2+bx-3得b=-4.

∴y=-x2-4x-3=-（x+2）2+1，

∴ 顶点坐标是（-2，1）.

∵（-2，1）关于（0，1）的对称点是（2，1），

∴所求的成中心对称的抛物线是y=（x-2）2+1，

即y=x2-4x+5，如图2.

（2）∵y=-x2-2x+5=-（x+1）2+6，

∴ 顶点坐标是（-1，6）.

∵（-1，6）关于（0，m）的对称点是（1，2m-6），

∴y′=（x-1）2+2m-6.

∵ 两个抛物线有交点，

∴ 方程-（x+1）2+6=（x-1）2+2m-6有解，

∴x2=5-m有解，∴5-m≥0，即m≤5，如图3.

（3）①∵y=ax2+2ax-b=a（x+1）2-a-b，

∴ 顶点为（-1，-a-b），代入y′=bx2-2bx+a2得

b+2b+a2=-a-b.①

∵y′=bx2-2bx+a2=b（x-1）2+a2-b，

∴ 顶点为（1，a2-b）,代入y=ax2+2ax-b得

a+2a-b=a2-b.②

图2

图3

图4

图5

∴ 两顶点坐标分别是（-1，0），（1，12），由中点坐标公式得衍生中心的坐标是（0，6），如图4.

② 如图5，设AA1，AA2，…，AAn，AAn+1与y轴分别交于点B1，B2，…，Bn，Bn+1，则点A与A1，A与A2，…，A与An，A与An+1分别关于B1，B2，…，Bn，Bn+1对称，

∴B1B2，B2B3，…，BnBn+1分别是△AA1A2，△AA2A3，…，△AAnAn+1的中位线，

∴A1A2=2B1B2，A2A3=2B2B3，…，AnAn+1=2BnBn+1.

∵Bn（0，k+n2），Bn+1[0，k+（n+1）2]，

∴AnAn+1=2BnBn+1

=2[k+（n+1）2-（k+n2）]=4n+2.

四、方案设计型

例4空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围城一个矩形菜园ABCD，已知木栏总长为100米.

（1）已知a=20，矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏，且围成的矩形菜园面积为450平方米，如图6，求所利用旧墙BC的长；

（2）已知0＜a＜50，且空地足够大，如图7.请你合理利用旧墙及所给木栏设计一个方案，使得所围成的矩形菜园ABCD的面积最大，并求面积的最大值.

图6

图7

解析：（1）设AD=x米，则米.

因为a=20且x≤a，所以x2=90不合题意，舍去.

故所利用旧墙BC的长为10米.

（2）设AD=x米，矩形ABCD的面积为S平方米.

①如果按图6围成矩形菜园，依题意得

Sx-50）2+1250，0＜x≤a，

因为0＜a＜50，当x≤a＜50时，S随x的增大而增大,

所以当x=a时

②如果按图7方案围成矩形菜园，依题意得

S