解析几何热点问题剖析

■河南省确山县第一高级中学 黄志玮

高考对解析几何的考查主要围绕“直线和圆的位置关系、圆锥曲线定义的巧用、离心率的求解、焦点三角形的特征、轨迹方程的探究方法、直线与圆锥曲线的位置关系,以及定值、定点、最值和范围的求解”等考点展开,求解时除凸现设而不解,整体思维外,有时还要用到平几的基本知识和向量的基本方法,解题过程始终是围绕着怎样简化运算展开的。

剖析1——用代数方法探究直线和圆的综合问题

例1 (广东省汕头市2 0 1 7届三模)已知圆C经过(2,4),(1,3)两点,圆心C在直线x-y+1=0上,过点A(0,1),且斜率为k的直线l与圆相交于M,N两点。

(1)求圆C的方程。

解析:(1)选圆的标准方程用待定系数法求解。设圆C的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,依题意,可得方程组解得所以圆C的方程为(x-2)2+(y-3)2=1。

例2 (2 0 1 7年安徽省马鞍山市二模)已知A(0,7),B(0,-7),C(1 2,2),以C为一个焦点作过A,B的椭圆,则椭圆的另一个焦点F的轨迹方程是____。为定值。用几何法求数量积时注意切割线定理的应用。过点A(0,1)作直线A T与圆C相切,切点为T,则A T2=7,所以,所以为定值,且定值为7。

②代数法研究直线和圆的位置关系,数量积用坐标表示。依题意可知,直线l的方程为y=k x+1,设M(x1,y1),N(x2,y2),将y=k x+1代入(x-2)2+(y-3)2=1,化简整理得(1+k2)x2-4(1+k)x+7=0,则

感悟:解答直线与圆的综合问题,要运用平面几何的知识弄清问题的本质所在,再进行相应的代数运算。运用“设而不求”的思想方法,借助韦达定理,将向量关系转化为直线斜率k的关系,进而求出k,另外要注意检验是否符合题意。

剖析2——巧用圆锥曲线的定义解题

解析:定义法探求轨迹方程,由两点间距离公式可得|A C|=1 3,|B C|=1 5,|A B|=1 4。由A,B都在椭圆上,得|A F|+|A C|=|B F|+|B C|,|A F|-|B F|=|B C|-|A C|=2＜1 4,故F的轨迹是以A,B为焦点的双曲线的下支。因为c=7,a=1,所以b2=4 8,则F的轨迹方程是-1)。

感悟:求轨迹方程的常用方法有:①直接法,设出动点的坐标(x,y),根据题意列出关于x,y的等式即可;②定义法,根据题意动点符合已知曲线的定义,可直接求出方程;③参数法,把x,y分别用第三个变量表示,消去参数即可;④代入法,将代入f(x0,y0)=0。本题巧用定义法求动点的轨迹方程。

剖析3——求椭圆或双曲线离心率的思维方法

感悟:解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题,关键就是确立一个关于a,b,c的方程或不等式,再根据a,b,c的关系消掉b得到关于a,c的齐次式方程或不等式,要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围及题设条件等。

剖析4——代数法或几何法探究抛物线焦点弦长的最值问题

例4 (2 0 1 7年湖南省长沙市长郡中学5月模拟)已知抛物线y2=4x,焦点记为F,过点F作直线l交抛物线于A,B两点,则的最小值为____。

解析:用坐标沟通关系构建目标函数求最值。因为F(1,0),设直线A B:y=k(x-1),代入y2=4x可得k2x2-(2k2+4)x+k2=0。设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2=1。由抛物线的定义可得,将代入得|A F|-。令x2-1=t,则x2=t+1,所以

感悟:若P(x0,y0)为抛物线y2=2p x(p＞0)上一点,由定义易得若过焦点的弦A B的端点坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则弦长为|A B|=x1+x2+p,x1+x2可由根与系数的关系整体求出;遇到焦半径或焦点弦长可利用数形结合的方法寻求简化运算的捷径。

剖析5——与圆锥曲线有关的最值或范围问题

(1)求椭圆E的方程;

(2)过点B(3,0)且斜率大于0的直线l与椭圆E交于P,Q两点,直线A P,A Q与x轴分别交于M,N两点,求|BM|+|BN|的取值范围。

(2)巧设直线方程,联立椭圆方程得到关于y的一元二次方程,由判别式大于零,运用韦达定理,将|BM|+|BN|表示为关于m的函数式,分离常数,进而可得结果。

设直线l的方程为x=m y+3,P(x1,y1),Q(x2,y2)。由直线A P的方程为y-,可得,即

因为m＞0,m2＞1,所以m＞1,因此0＜,即,所以|BM|+|BN|的取值范围是(2,6)。

感悟:解决圆锥曲线中的最值或范围问题一般有两种途径:一是利用几何意义,特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决,非常巧妙;二是将圆锥曲线中的最值或范围问题转化为函数问题,然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法及均值不等式法。本题第(2)问就是用函数单调性法求|BM|+|BN|的范围的。

剖析6——与圆锥曲线有关的探索性问题

例6 (2 0 1 7年第二次全国大联考)在直角坐标系x O y中,曲线与直线y=k x+a(a＞0)交于M,N两点。

(1)当k=0时,分别求C在点M和N处的切线方程。

(2)y轴上是否存在点P,使得当k变动时,总有∠O PM=∠O PN?请说明理由。

(2)存在符合题意的点,证明如下:设P(0,b)为符合题意的点,M(x1,y1),N(x2,y2),直线PM,PN的斜率分别为k1,k2。将y=k x+a代入

所以x1+x2=4k,x1x2=-4a。

当b=-a时,有k1+k2=0,则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补,所以∠O PM=∠O PN,故P(0,-a)符合题意。

感悟:圆锥曲线中的探索性问题采用“肯定顺推法”,其步骤为:假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在,用待定系数法设出,列出关于待定系数的方程组,若方程组有实数解,则元素存在,否则,元素不存在。本题中,将∠O PM=∠O PN转化为直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补,进而转化为直线PM的斜率与直线PN的斜率之和为0,再将其坐标化探究得到b=-a时存在,思路固定,字母运算复杂,需要细心和耐心。