两个几何不等式的加强

赵忠华 杜世华

(安徽省旌德中学 242600 安徽省旌德梓阳学校 242600 )

胡文生老师在《数学通报》2017年第8期给出了两个几何不等式：设a,b,c,ma,mb,mc,la,lb,lc分别表示△ABC的三边长，三条中线长，三条角平分线长，则

本文将这个不等式加强为：

我们先证以下引理.

引理1△ABC中, 相应于顶点A,B,C的中线长为ma,mb,mc;內角平分线长la,lb,lc;高线长为ha,hb,hc;则ha≤la≤ma,hb≤lb≤mb,hc≤lc≤mc.

证明如图:△ABC中，AD是高,AE是内角平分线,AF是中线, 我们分情况讨论:

(1)若AC≠AB,

不妨设AC>AB,则∠B>∠ACB,

所以∠BAD<∠CAD,

所以∠BAC的内角平分线AE位于∠CAD中，

国内情况：前周，国内各地区尿素价格周环比上涨为主。其中河北、山西、上海、浙江、福建、山东、河南、湖北、湖南、四川、陕西、甘肃等地尿素批发和零售价格分别上涨1-150元/吨；江苏、安徽和云南3省尿素批发和零售价格分别下跌20-67元/吨，其余地区价格持稳。

即E一定在CD上.

根据勾股定理，BD

所以BC的中点F一定在CD上，

所以E点在线段DF上,故ha

若AC

(2) 如果AC=AB,则ha=la=ma.

由(1)、(2) 得ha≤la≤ma.

同理hb≤lb≤mb,hc≤lc≤mc.

证明由柯西不等式有

由引理1、2，我们立即可得