正合零因子下模的GC-同调维数

郭寿桃, 王占平

(西北师范大学 数学与统计学院, 兰州 730070)

0 引 言

若(0:Ra)≅R/(a), 则称a∈m是一个正合零因子[11]. 文献[11]研究了当m4=0时有限生成R-模M的极小自由分解, 此时存在一个正合零因子, 给出了R是Gorenstein环 ⟺R/(a)是Gorenstein环; 对于正合零因子a, Bergh等[12]证明了环R/(aR)上的同调(上同调)消失可以推出环R上的同调(上同调)不消失, 这与a是正则元的情形相反; Amanzadeh等[13]证明了若x是R和C上的正合零因子, 则R/(xR)∈GC,AC, 并讨论了若x是R和R-模M上的正合零因子, 则在一定条件下,M/(xM)∈GC,BC,AC, 其中GC表示GC-投射模类, AC(BC)表示相对于半对偶化模C的Auslander(Bass)类. 受上述工作启发, 本文考虑若x是R和C上的正合零因子,M是GC-投射(GC-内射,GC-平坦,DC-投射)R-模, 则M/(xM)是否是GC/(xC)-投射(GC/(xC)-内射,GC/(xC)-平坦,DC/(xC)-投射)R/(xR)-模及相应维数之间的关系.

1 预备知识

定义1[11]设R是交换Noether环. 若R≠(0:Rx)≅R/(xR)≠0, 则称x∈R是一个正合零因子. 若存在y∈R, 使得(0:Rx)=yR, (0:Ry)=xR, 则称x,y是R上的一对正合零因子.

例1[12]设k是一个域,S=k[V,X,Y,Z]/I, 其中I=〈V2,Z2,XY,VX+XZ,VY+YZ,VX+Y2,VY-X2〉, 集合v=V+I. 则v是S上的一个正合零因子, 且(v,v)是一对正合零因子.

定义2[14]设R是交换Noether环,M是R-模. 若M≠xM,x∉(0:RM)且存在y∈R, 使得(0:Mx)=yM, (0:My)=xM, 则称x∈R是M上的正合零因子. 此时, 称x,y是M上的一对正合零因子.

定义3[7]若下列条件成立:

1) 存在R-模的正合序列P=…→P1→P0→C→0, 其中每个Pi是有限生成的投射R-模,i≥0;

2) 自然同位映射R→HomR(C,C)是同构;

则称R-模C是半对偶化模.

定义4[15]设C是半对偶化R-模, 则PC(R)={M|M≅C⊗RP, 其中P是投射R-模}, FC(R)={M|M≅C⊗RF, 其中F是平坦R-模}和IC(R)={M|M≅HomR(C,I), 其中I是内射R-模}分别称为C-投射模、C-平坦模和C-内射模. 特别地, 当C=R时, 上述定义的模即为投射模、 平坦模和内射模.

R-模M的PC-投射维数定义为PC-pdR(M)=inf{n|存在R-模的正合序列0→Pn→…→P0→M→0, 其中每个Pi是C-投射模, 0≤i≤n}. 类似地, 可定义R-模M的FC-平坦维数. 对偶地,R-模M的IC-内射维数定义为IC-idR(M)=inf{n|存在R-模的正合序列0→M→I0→…→In→0, 其中每个Ii是C-内射模, 0≤i≤n}.

定义5[8]若存在下列形式的正合序列:

P=…→P1→P0→C⊗RP0→C⊗RP1→…,

其中任意Pi和Pi是投射R-模,i≥0, 使得M≅Coker(P1→P0), 且对任意投射R-模Q, 复形HomR(P,C⊗RQ)都是正合的, 则称R-模M是GC-投射模. 对任意的正整数n, 若存在R-模的正合序列0→Gn→Gn-1→…→G0→M→0, 其中每个Gi是GC-投射模(0≤i≤n), 则称M的GC-投射维数不超过n. 若上述正合序列不存在, 则GC-pdR(M)=∞.

对偶地, 可定义GC-内射模及其维数.

定义6[8]若存在下列形式的正合序列:

F=…→F1→F0→C⊗RF0→C⊗RF1→…,

其中任意Fi和Fi是平坦R-模,i≥0, 使得N≅Coker(F1→F0), 且对任意内射R-模I, 复形F⊗RHomR(C,I)都是正合的, 则称R-模N是GC-平坦模. 对任意的正整数n, 若存在R-模的正合序列

0→Gn→Gn-1→…→G0→N→0,

其中每个Gi是GC-平坦模(0≤i≤n), 则称N的GC-平坦维数不超过n. 若上述正合序列不存在, 则GC-fdR(N)=∞.

当C=R时, 上述定义中的GC-投射(内射, 平坦)模是Gorenstein投射(内射, 平坦)模.

作为Gorenstein投射模和Gorenstein内射模的两种特殊情形, 文献[16-17]引入并研究了强Gorenstein平坦模和GorensteinFP-内射模, Gillespie[18]将其分别称为Ding投射模和Ding内射模; Zhang等[19]在此基础上将其推广, 得到了相对于半对偶化模C的Ding投射模和Ding内射模, 即DC-投射模和DC-内射模.

定义7[19]若存在下列形式的正合序列:

P=…→P1→P0→C⊗RP0→C⊗RP1→…,

其中任意Pi和Pi是投射R-模(i≥0), 使得X≅Coker(P1→P0), 且对任意平坦R-模Q, 复形HomR(P,C⊗RQ)都是正合的, 则称R-模X是DC-投射模. 对任意的正整数n, 若存在R-模的正合序列

0→Dn→Dn-1→…→D0→X→0,

其中每个Di是DC-投射模(0≤i≤n), 则称X的DC-投射维数不超过n. 若上述正合序列不存在, 则DC-pdR(X)=∞.

对偶地, 可定义DC-内射模及其维数的概念. 由上述定义可知, 每个DC-投射(内射)模都是GC-投射(内射)模. 当C=R时, 上述定义中的DC-投射(内射)模是Ding投射(内射)模. 在Noether环上,DC-内射模与GC-内射模一致.

本文中的环R是具有单位元的交换Noether环, 模均指酉模. 用GCP(R)(GCI(R),GCF(R),DCP(R))表示所有的GC-投射(GC-内射,GC-平坦,DC-投射)R-模构成的类, 相应的维数分别用GC-pdR(-)(GC-idR(-),GC-fdR(-),DC-pdR(-))表示.

Christensen[20]研究了正则元下的GC,BC,AC; Amanzadeh等[13]研究了正合零因子下的GC,BC,AC. 本文考虑正合零因子下的GC-投射(GC-内射,GC-平坦,DC-投射)模, 证明了若x是R和C上的正合零因子,M是GC-投射(GC-内射,GC-平坦,DC-投射)R-模, 则M/(xM)是GC/(xC)-投射(GC/(xC)-内射,GC/(xC)-平坦,DC/(xC)-投射)R/(xR)-模. 进而得到了有关维数的结论.

2 主要结果

引理1[14]设x,y是R上的一对正合零因子. 若M≠xM,x∉(0:RM), 则x,y是任意内射、 投射或平坦R-模M上的一对正合零因子.

引理2[13]设B是有限R-模, 假设x,y是R和B上的一对正合零因子. 则下列叙述等价:

1)B是半对偶化R-模; 2)B/(xB)和B/(yB)分别是半对偶化R/(xR)-模和R/(yR)-模.

M/(xM)∈PC/(xC)(R/(xR))(IC/(xC)(R/(xR)), FC/(xC)(R/(xR))).

命题1设x是R和C上的正合零因子, 且R/(xR)是平坦R-模. 若M∈GCP(R), 则M/(xM)∈GC/(xC)P(R/(xR)).

证明: 因为M∈GCP(R), 故存在下列形式的正合序列:

P=…→P1→P0→C⊗RP0→C⊗RP1→…,

其中任意Pi和Pi是投射R-模(i≥0), 使得M≅Coker(P1→P0), 且对任意投射R-模Q, 复形HomR(P,C⊗RQ)是正合的. 又R/(xR)是平坦R-模, 用R/(xR)⊗R作用于上述序列, 有R/(xR)-模的正合序列

P/(xP)=…→P1/(xP1)→P0/(xP0)→C/(xC)⊗RP0→C/(xC)⊗RP1…,

(1)

对任意投射R-模P, 若P≠xP,x∉(0:RP), 则由引理1知,x是P上的正合零因子. 对任意的R/(xR)-模N, 由注2得

若P=xP, 则P/(xP)=0. 若x∈(0:RP), 则P/(xP)=P. 因此P/(xP)∈P(R/(xR)). 再由引理3知,x是C⊗RP上的正合零因子, 且C/(xC)⊗RP∈PC/(xC)(R/(xR)). 因此序列(1)是由投射R/(xR)-模及C/(xC)-投射R/(xR)-模构成的正合序列, 且

HomR/(xR)(P/(xP),C/(xC)⊗R/(xR)Q)≅HomR/(xR)(P/(xP),C⊗RQ)≅HomR(P,C⊗RQ)

是正合的, 其中Q∈P(R/(xR)). 故

M/(xM)≅Coker(P1/(xP1)→P0/(xP0))∈GC/(xC)P(R/(xR)).

类似命题1的证明可得下列结论:

命题2设x是R和C上的正合零因子, 且R/(xR)是平坦R-模. 若M∈DCP(R), 则M/(xM)∈DC/(xC)P(R/(xR)).

命题3设x是R和C上的正合零因子, 且R/(xR)是平坦R-模. 若M∈GCF(R), 则M/(xM)∈GC/(xC)F(R/(xR)).

与命题1对偶地, 可得下列结论:

命题4设x是R和C上的正合零因子, 且R/(xR)是平坦R-模. 若M∈GCI(R), 则M/(xM)∈GC/(xC)I(R/(xR)).

证明: 因为M∈GCI(R), 故存在下列形式的正合序列:

I=…→HomR(C,I1)→HomR(C,I0)→I0→I1→…,

其中Ii和Ii是内射R-模(i≥0), 使得M≅Ker(I0→I1), 且对任意的内射模E, 复形HomR(HomR(C,E),I)是正合的. 由引理3知,x是IC(R)上的正合零因子, 因此对任意内射R-模I, 有

R/(xR)⊗RHomR(C,I)≅HomR(R/(xR),HomR(C,I))≅HomR(C/(xC),I).

于是用R/(xR)⊗R作用于上述序列, 有R/(xR)-模的正合序列

I/(xI)=…→HomR(C/(xC),I1)→HomR(C/(xC),I0)→I0/(xI0)→I1/(xI1)….

(2)

对任意内射R-模I, 若I≠xI,x∉(0:RI), 则由引理1知,x是I上的正合零因子. 对任意的R/(xR)-模N, 由注2得

若I=xI, 则I/(xI)=0. 若x∈(0:RI), 则I/(xI)=I. 因此I/(xI)∈I(R/(xR)). 再由引理3得HomR(C/(xC),I)∈IC/(xC)(R/(xR)). 从而序列(2)是由C/(xC)-内射及内射R/(xR)-模构成的正合序列, 且

是正合的, 其中E∈I(R/(xR)). 故

M/(xM)≅Ker(I0/(xI0)→I1/(xI1))∈GC/(xC)I(R/(xR)).

下面讨论正合零因子下模的GC-投射(GC-内射,GC-平坦,DC-投射)维数.

命题5设M是R-模,x是R和C上的正合零因子, 且R/(xR)是平坦R-模. 则

GC/(xC)-pdR/(xR)(M/(xM))≤GC-pdR(M).

证明: 若GC-pdR(M)=∞, 则结论成立. 假设GC-pdR(M)=n<∞, 则存在R-模的正合序列

0→Gn→Gn-1→…→G0→M→0,

其中Gi是GC-投射R-模, 0≤i≤n. 用R/(xR)⊗R作用于上述序列, 有R/(xR)-模的正合序列

0→Gn/(xGn)→Gn-1/(xGn-1)→…→G0/(xG0)→M/(xM)→0.

由命题1知, 对0≤i≤n, 均有Gi/(xGi)∈GC/(xC)P(R/(xR)). 于是GC/(xC)-pdR/(xR)(M/(xM))≤n.

类似命题5的证明可得下列结论:

命题6设M是R-模,x是R和C上的正合零因子, 且R/(xR)是平坦R-模. 则

DC/(xC)-pdR/(xR)(M/(xM))≤DC-pdR(M).

命题7设M是R-模,x是R和C上的正合零因子, 且R/(xR)是平坦R-模. 则

GC/(xC)-fdR/(xR)(M/(xM))≤GC-fdR(M).

与命题5对偶地, 可得下列结论：

命题8设M是R-模,x是R和C上的正合零因子, 且R/(xR)是平坦R-模. 则

GC/(xC)-idR/(xR)(M/(xM))≤GC-idR(M).

证明: 若GC-idR(M)=∞, 则结论成立. 假设GC-idR(M)=n<∞, 则存在R-模的正合序列

0→M→G0→…→Gn-1→Gn→0,

其中Gi是GC-内射R-模, 0≤i≤n. 用R/(xR)⊗R作用于上述序列, 有R/(xR)-模的正合序列

0→M/(xM)→G0/(xG0)→…→Gn-1/(xGn-1)→Gn/(xGn)→0.

由命题4知, 对0≤i≤n, 均有Gi/(xGi)∈GC/(xC)I(R/(xR)). 于是GC/(xC)-idR/(xR)(M/(xM))≤n.