指导二次函数解题 培养初中生数学素养

陆喜芳

（江苏省常熟市第一中学，江苏常熟 215500）

引 言

现阶段，高中数学的难度越来越大，这使得初中数学的难度也逐步提升。函数尤其是二次函数作为初中阶段新接触的一个知识点，对于初中学生来说，一直是学习的重点和难点。所以，指导学生提高二次函数的解题能力，对培养学生的数学素养起着重要的作用。在本文中，笔者结合人教版数学教材和自身的教育教学经历，针对二次函数对培养学生数学素养的有效性方面，提出四点个人的见解。

一、观察题干，提炼重点

函数的灵活性很强，二次函数尤是如此。在选择题、填空题等初中阶段所涉及的各类题型中，都经常出现，而且二次函数经常会和其他的知识配合运用，这就需要学生在解题的过程中，不要被题目轻易迷惑，仔细地观察题干，提炼题目中的重点内容[1]。

例如，在某一天的课堂作业中，有这样一道例题：设二次函数y=x2+2ax+b与x轴相交于A，B两点，C点坐标为（0，2），若△ABC的面积为6，则a与b满足什么样的关系？在这道题中，既出现了二次函数，也出现三角形求面积的应用。其实这道题是“明修栈道，暗渡陈仓”，看似在考察三角形的面积求解，实际还是在考察二次函数的相关特征。教师讲解这道例题，首先针对△ABC的面积求解进行分析，引导学生探究本题究竟要求二次函数的什么要素。已知C点坐标为（0，2），则△ABC高为yc=2；A，B都在x轴上，则底为AB，那么就可以列出，解到这里，这道题就很清晰了，考察的是a，b和二次函数与x轴交点距离的关系。设 A，B 两点的坐标分别为（x1，0），（x2，0），因为有得出即

可见，二次函数的运用非常灵活。二次函数与x轴交点数量、距离，以及韦达定理等，都可以成为出题者所要考察的内容，教师要引导学生仔细观察题干，提炼重点内容。

二、立足整体，尝试转化

数学作为一门逻辑性很强的学科，在学习的过程中，最需要注意的就是，不能将数学当成一门背诵记忆的科目，更不能强行将公式和知识点背诵下来进行应用，应该透彻理解其原理，整体观察，将题目内涵和知识点的定义联系起来。

例如，有这样一道题：世界火星商店出售火星模型，售价59美元一个，每个模型的成本价格是39美元，平均的销售量是每月250个。商店老板通过总结多月来市场的需求和以前的销售经验，总结出，如果模型的价格上涨1美元，则每个月将少卖出18个，反之，如果模型的价格降价1美元，那么，每月模型的销售量可以上涨19个。如果现在你是这个商店的老板，根据以上的资料，你会如何调整模型的价格，让商店的利润达到最高？这道题就需要整体观察题干，已知总利润=单位净利润×销售量，对调价分两种情况分析，设模型的售价下降或者上涨x美元，可知单位净利润=售价-成本±x，销售量随着价格的变化也进行变化，如果价格上涨，销售量＝59－18x；如果价格下跌，销售量＝59＋19x。则对整体进行分析可知涨价时的利润公式，即y＝（59－18x）（59－39＋x）；降价时，y＝（59＋19x）（59－39－x），则可以分别求出相应的y的最大值。

因此，教师在讲解二次函数题目的时候，要注意引导学生站在整体的角度解题，将信息有效地转化为数学元素，帮助学生提高解题效率，培养学生数学素养。

三、一题多解，发散思维

初中生刚刚接触二次函数，学习的感觉就像在探索一个未知的领域，此时，引导学生培养发散思维尤为重要。二次函数的题目往往有多种求解方法，教师在教学中不要局限于最简便的解题方法，引导学生灵活运用知识点才是帮助学生理解概念的最有效方法。

例如，当刚刚学完二次函数的表达式之后，练习中最常出现，也是和二次函数的定义和性质最相关的一类题型就是根据已知条件求解二次函数的解析式，在题目中给出一些特定的已知条件，可以从多个角度完成对二次函数的分析与解析，如：已知一个二次函数与坐标轴分别有三个交点，函数与y轴交于点A（0，－2），与x轴交于B，C两点，分别是（-3，0）和（3，0），试求解该二次函数的解析式。一般来说，解这道题的思路，是直接设方程的一般式，y=ax2+bx+c，将题干中已知的三个点分别代入方程中，得到三个方程，0=a(-3)2+（-3）b+c，0=a32+3b+c，-2=a×02+0×b+c，三个方程联立可以求解三个未知数。同时，这道题还可以引导学生不设一般式，利用抛物线的对称性，结合x轴上的交点B、C的对称轴为y轴，直接设顶点式y=a(x-m)2+n，可知二次函数的对称轴为x=0，即m=0；函数在x=0时，y=-2，可得出n=-2，可以得到方程y=a（x-0）2-2，再将(-3，0)或（3，0）代入方程便可以求解。

二次函数对于初中数学非常重要，教师通过把握二次函数的解题灵活性，可以帮助学生培养思维的发散性，提升做题速度和解题能力，进一步提高学生的成绩。

四、数形结合，升华意识

任何一道二次函数的题目都不能离开图像，将解析式和图形结合起来利用，是解决二次函数问题最好的解题方法。图像可以详细地表现出二次函数的性质和特点，函数解析式又可以帮助学生迅速找到关系画出函数图像。

例如，在学习《函数图像平移变换》的课程中，经常会探究两个函数之间的关系和变换规律。首先，教师可以引导学生先进行描点画出y=x2，y=x2+1，y=x2-1的图像，探究它们之间的关系，可以看出三个函数图像，在形状上面没有任何的变化，只在高度上面出现差异，y=x2-1是y=x2向下平移了一个单位，y=x2+1在y=x2的基础上向上平移了一个单位，可以得出，函数解析式后面的常数项变化会引起函数图像向上或者向下的平移。然后，引导学生再进行描点画出y=x2，y=(x+1)2，y=(x-1)2的图像，再次探究三个图像之间的关系，可以得到，y=(x-1)2是y=x2向右平移了一个单位，y=(x+1)2是y=x2向左平移了一个单位，通过这种方法，可以继续探究y=(x+1)2+1，y=(x-1)2-1等图像是由y=x2经过如何的变换得到的。

通过图像，学生可以很清晰地了解到二次函数的增减性、对称轴、最高点和最低点等特性，可以让原本抽象的概念很直观地展现出来，帮助学生理解学习。教师要帮助学生做到看图像分析解析式，培养学生看到解析式就想起图像的习惯，熟练地运用二次函数。

结 语

因为二次函数太过于抽象，学生往往难以理解，教师在教学过程中，将重点聚焦在最难的二次函数的讲授中，可以帮助学生弥补弱点，培养学生养成良好的学习习惯，延伸思路，树立自信，提高学习能力。