在概念建构中感悟分类思想——以《三角形按角分类》的教学为例

江苏盐城市第二小学 徐正洲

小学数学有很多非常基本、非常重要的概念。这些数学概念广泛存在于数与代数、空间与图形、统计与概率等领域，是小学生理解并掌握数学基础知识、提升数学基本能力、感悟数学基本思想、积累数学基本活动经验、形成正确数学观的重要载体。“小学生学习数学知识的过程就是一个不断用数学概念比较、分析、综合、概括、判断和推理的过程”。在概念教学过程中，有时需要分类。“分类是一种重要的数学思想。学习数学的过程中经常会遇到分类问题，如数的分类，图形的分类，代数式的分类，函数的分类等”。分类是小学生积极建构概念的基础，也是他们理解概念内涵的过程；分类能加深学生对数学概念的理解和整体把握；分类是学生抽象概括的基础，有助于提高学生的数学思维能力。教师要充分引导学生经历分类过程，使学生在概念建构中充分感悟分类思想。

一、在感知概念中激发分类需要

波利亚认为，学习最好的途径是自己去发现。兴趣是最好的老师。有了学习兴趣，学生才会积极主动地投入学习中去。因此，教师在数学概念的引入环节，要从实际出发，创设与概念有明显联系且直观性强的问题情境，使学生在对具体问题的体验中初步感知概念，为学生在对一定数量感性材料的观察、分析基础上提炼出本质属性打好基础。如果教师能在问题情境中有效激发学生的分类兴趣，就会收到事半功倍的教学效果。

教学时，教师先引导学生回顾自己生活中见过的三角形。有的学生从三角尺中看到三角形，有的学生从红领巾中看到三角形，有的学生从一张斜着对折的正方形纸上看到三角形……教师借助多媒体出示一些“藏”有三角形的景物或物体图片，和学生一起找三角形。学生边找边用手比画所发现的三角形后，教师在图上画出三角形，问学生看到这么多三角形有什么感觉。学生都认为三角形比较多，有点乱。如果这些三角形整齐些，就不会给人“七上八下”的感觉。为了强化学生的认知，教师借助多媒体随机呈现了更多三角形，大家都一致认为三角形的呈现非常凌乱，如果能想办法给这些三角形分类就好了。

有效的问题情境能激发学生的认知冲突，使学生在已有认知结构和情境之间产生矛盾，这是激发学生探究欲望的有效途径。教师引导学生从生活中发现三角形，但这些三角形放在一起有点杂乱无章，尤其是随机呈现三角形的凌乱真的让人理不清头绪，给三角形归归类就成了很多学生心中的想法。这样，学生在观察和交流中想到把三角形分类就成了大家的一致共识，也成了他们的心理需要，教师引导学生对三角形分类就成了顺理成章的事情了。

二、在形成概念中经历分类过程

新数学概念形成的原动力是学生已有概念与新概念之间的平衡。学生理解数学概念的过程就是他们掌握了同类事物相同属性和关键属性的过程，是一个联系紧密的整体。教师要引导学生充分经历分类过程，使他们在观察、比较和分类中主动习得概念并整体把握。促使他们真正理解并掌握数学概念的最好方法，就是引导学生充分经历概念的形成过程。如果学生在概念形成过程中充分经历了分类过程，就不仅能提升归纳概括能力，而且能充分感悟分类数学思想，还能有效发展数学空间观念。

教师借助多媒体把学生所观察图形中的三角形移下来并编号（如图1），引导他们先观察图①和图②，说说这两个三角形的三个角各是什么角？学生观察后，发现图①的三个角中有2个角是锐角，还有一个直角；图②的三个角都是锐角。教师课件演示量角器量图中每个角的过程，验证了他们的想法。教师问学生是不是所有三角形的三个角一定都是锐角时，有的学生认为三角形中可能有直角，有的学生认为三角形中可能有钝角。在此基础上，教师引导学生仔细观察①～⑥这些三角形，说说每个三角形的角是否相同。再引导他们从材料袋里拿出三角形，借助量角器或直尺等进行操作并独立思考，填表后小组讨论交流。

图1

汇报交流时，有的小组按有无直角把三角形分成两类：一类有直角如①和⑥，一类没有直角如②、③、④和⑤；有的小组按有无钝角把三角形分成两类：一类有钝角如③和⑤，一类没有钝角如①、②、④和⑥；有的小组按三角形的锐角个数把三角形分成两类：一类是有三个锐角的三角形如②和④，一类是有两个锐角的三角形如①、③、⑤和⑥；有的学生直接分成三类：三个角都是锐角的三角形有②和④，两个角是锐角一个角是直角的三角形有①和⑥，两个角是锐角一个角是钝角的三角形有③和⑤。学生交流时，教师要求他们分别说说分类标准、每类三角形的特点以及这样分类的理由，并用多媒体及时直观、完整、有条理地展示。学生把分成两类的再细分，并分别命名，从而引出概念：3个角都是锐角的三角形是锐角三角形；有1个角是直角的三角形是直角三角形；有1个角是钝角的三角形是钝角三角形。分类后，教师追问学生，如钝角三角形会不会被人看成直角三角形或锐角三角形？为什么？一个三角形可能有两个或三个钝角吗？为什么？一个三角形可能有两个或三个直角吗？为什么？一个三角形可能只有一个锐角吗？为什么？……学生在比较和辨析中真正理解和掌握了锐角三角形、直角三角形和钝角三角形的概念，弄清了三角形的分类方法。最后，教师引导学生把所有三角形看作一个整体，锐角三角形、直角三角形和钝角三角形分别看作整体的一部分，把它们之间的关系用图2表示，追问学生按角分时，有没有遗漏什么三角形或者写重复了什么三角形，从而帮助学生理解三角形要按照一定标准分类，做到不重复不遗漏。

图2

教师选择2个三角形作为学生先行研究的对象，其目的是引导学生充分体现把“角的特点”作为分类标准的合理性。教师提问“是不是所有三角形的三个角一定都是锐角”，一方面能促使学生关注三角形三个内角的特点，另一方面鼓励学生探究三个角不都是锐角的三角形，从而体会分类活动的必要性。学生的知识经验不一样，小组的分类结果也不同。学生把三角形按角分成两类或三类时，教师引导学生进行对比，使他们认识钝角三角形和锐角三角形是在斜三角形基础上的细分。每次分类后，教师引导学生对照分类要求检验正确性，帮助他们在掌握三角形角的特征基础上，感悟概念建构方式。教师追问的几个问题帮助学生理清了分类规则：一是母项的外延等于各子项外延的和，二是各子项的外延必须互相排斥。这样不仅能帮助学生理解分类标准的合理性，而且能帮助学生培养他们思维的严谨性，提升学生对分类过程的理解水平，还能帮助学生体会分类的要求——不重复不遗漏。学生所形成的数学概念也非常稳定牢固。

三、在应用概念中掌握分类方法

新概念是学生对已有数学概念的继承、发展与完善。有些概念由于其内涵丰富、外延广泛等原因，学生很难一步到位地理解，需要分成若干层次，分阶段逐步理解。有效、适当的练习是帮助学生理解和掌握数学概念的保障。教师要想方设法地用各种有效方式对概念的内涵和外延进行“深加工”，帮助学生进一步理解概念的本质属性和非本质属性，以便学生更清晰地理解数学概念。如果教师能引导学生在应用概念中进一步掌握分类方法，感悟数学分类思想，就能起到一举多得的作用。

在练习时，教师首先引导学生做猜一猜的游戏：出示三个信封，分别露出钝角、直角和锐角，让学生猜一猜“躲”在信封里面的三角形的类型（图3），再借助几何画板在动态变换（图4）中引导学生思考：如果A点向右移动时，图形就会变成什么三角形？如果A点向左移动，图形就会变成什么三角形？最后引导学生连一连（图5）。

图3

图4

图5

借助猜一猜游戏，引导学生认识不同的三角形，巩固分类认知；借助几何画板的动态演示，引导学生在想象中感悟三角形按角分类的变化过程，既增加了题目的趣味性，又能帮助学生进一步巩固三角形特征；“连一连”能帮助学生再次经历分类过程，促使学生进一步感悟分类数学思想。这样练习有助于学生更加准确和全面把握所学数学概念的内涵和外延。

四、在内化概念中回顾分类收获

数学概念具有一定的系统性。学生掌握的数学概念不是零散的，而是密切联系的一个整体。教师要帮助学生在新的数学概念与原有概念之间建立联系，也就是要帮助学生把新建构的数学概念纳入已有概念体系的认知结构中，形成一个有机整体，这样的概念教学才有活力，才能灵活地加以运用。因此，教师要选择合适时机，引导学生沟通概念间的相互联系，促使学生把所学概念形成知识网络。

教师引导学生总结学习收获时，有的学生认为，三角形按角分可以分成锐角三角形、直角三角形和钝角三角形；有的学生认为，如果把三角形看成一个圆，三种不同的三角形就把这个圆一分为三；有的学生认为，三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，有一个角是直角的三角形是直角三角形，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；有的学生认为，三角形中最多有三个锐角，最少有2个锐角；有的学生认为，三角形中最多只有一个直角或者一个钝角，判断三角形要看其中最大的内角是什么角。最后，教师小结性告诉学生：分类是学习和生活中不可或缺的一种重要数学思想和方法。只要找到正确的分类标准，生活中有很多事物都可以分类。不同的分类标准有不同的分类结果。

总之，在数学概念的建构过程中，学生常常需要通过分类讨论问题和解决问题。教师要引导学生逐渐体会分类的原因、确定分类标准和分类过程中认识对象性质的方法，明白分类要不重复不遗漏。通过反复思考和长期积累，使学生逐步感悟分类是一种非常重要的数学思想。当然，小学生感悟分类思想是对数学知识和方法的高度抽象与概括，不可能一蹴而就。如果问题情境复杂、层次众多，教师就引导学生选择一个合适的分类标准，不重不漏地把问题分解成一些比较单一并熟悉的小问题，各个击破后再综合起来，实现问题解决。这样就能化难为易地分散问题难点，实现问题转化，有助于学生顺利建构数学概念，并从中感悟数学分类思想。♪