数学史：不可忽略的教学内容

马瑛 温孝明

2018年的高考已经落下帷幕，在全国各地的高考数学试题中，与数学史相关的题目虽总量不多，但古今中外都有涉及。近年来，数学文化与数学史已成为高考数学的考试内容。前几年多数以历史与文化作为题目背景，近两三年则直接以历史原题入试。这要求中学数学教师必须重视数学史与数学文化的教学，而考生也必须重视相关知识的学习。本文扼要介绍2018年高考中的数学史内容。

一、西方数学的重要结果：希波克拉底定理

全国Ⅰ卷理科数学第10题，题面考几何概型，即比较随机取点分别落在黑色月牙形I、白色弓形Ⅱ和三角形Ⅲ内的概率。这个几何图形来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形（如图1），在历史上非常有名。

希波克拉底是希腊数学家，生于奇俄斯岛，活跃于公元前5世纪下半叶，在几何学方面做出了许多贡献，他的一些研究成果被欧几里得编入了《几何原本》中。此外，他对天文学也颇有研究。古希腊出现了几何学史上著名的三大难题，即倍立方、化圆为方、三等分角。有许多数学家为解决此三大难题殚精竭虑，直到19世纪才最终证明此三大难题无法解决。但是人们在研究过程中获得了许多副产品，得到一些著名的结果。

希波克拉底第一个在倍立方问题上取得了重要突破，他用分析方法把这个困难的几何问题转化成较简单的代数问题。而所谓的“希波克拉底定理”是在研究化圆为方问题时产出的结果。他实际上解决了化月牙形为方的问题，相当于求出了图1中黑色部分的面积。他发现：①直角等腰三角形的外接圆与边上所做的二半圆之间所夹的两个月牙形的面积之和等于三角形之面积；②由正六边形上半部所构成的梯形面积等于边上一个小半圆与三个月牙面积之总和；③作一个正方形的面积等于一个月牙。图1中I与Ⅲ的面积相等是①的直接推广。根据希波克拉底定理，I与Ⅲ的面积相等，由此立即可得出本考题答案。如果考生熟悉此定理，则该考题答案可脱口而出。

此考题背后涉及古希腊三大几何难题、希波克拉底及其数学成果，甚至还涉及《几何原本》，包含了丰富的数学史与数学文化知识。近年来关于西方数学史内容还有毕达哥拉斯形数（湖北2009年理科第10题、2013年理科第14题）、斐波那契数列（2009年福建理科第15题）、阿波罗尼斯奥圆（2014年湖北文科第17题）、皮克定理（2013年湖北文科第17题、2011年北京理科第8题）等。

二、现代数学的重要成果：哥德巴赫猜想

全国Ⅱ卷理科第8题，题面考古典概型，所用模型是著名的哥德巴赫猜想。

1742年，哥德巴赫猜测：任何一个大于2的偶数都可以表示成两个奇素数之和。他求教當时最著名的数学家欧拉，可是欧拉也无能为力，后来无数数学家为证明这个猜想而奋斗。该问题与费玛大定理等一起成为数论中著名的难题。对于较小的偶数，哥德巴赫猜测可以直接得到验证，但一般意义上的证明却困扰了数学界二百多年。由于一举证明整个结论的困难，后来人们改变了思路，去证明把大偶数表示成a个素数的乘积加上b个素数的乘积，简称“a+b”。当a，b都等于1时，猜想就被证明了。当证明了a等于1成立后，问题就在于降低b了，我国数学家王元、潘承洞和陈景润在这个问题上取得了重要成果，陈景润证明了b=2成立，离b=1成立还差一步，至今仍是最好的结果。

本题涉及到的是近现代数学史上著名的哥德巴赫猜想及其历史，既是历史著名难题，也包括中国数学家的成就，足以引起考生对现代数学前沿的兴趣，引导学生关注现代数学进展。

三、中国古代数学：刘徽原理与百鸡问题

上海卷第15题考查学生分类讨论的能力，其模型是《九章算术》中的几何体“阳马”，这涉及到古代几何形体、几何理论与刘徽原理。将立方沿对角线一分为二，得两个“壍堵”，刘徽证明了“斜解壍堵，其一为阳马，一为鳖臑。阳马居二，鳖臑居一，不易之率也”。在证明中他用到了无限分割与极限方法。史家称为“刘徽原理”。立方、壍堵、阳马、鳖臑是中国古代几何中的基本形。

浙江卷第11题直接以《张邱建算经》中的名题“百鸡问题”为考题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一。凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”这是一个解不定方程组的问题。张邱建给出了全部解，中国古代其他数学著作中同类问题很多。

以上二题均来自中国古代数学著作。其实，近年来高考数学文化试题中，涉及到中国传统数学代表性著作的题目较多，如：“竹生九节”“开立圆术”“割圆术”“祖暅原理”“委米依垣”“更相减损术”“米谷粒分”“天池盆测雨”“秦九韶多项式算法”“中国剩余定理”“棋局都数”“浮屠增级”等古代数学名题，涉及数学著作较多，内容较为宽广。

四、数学的应用问题：十二平均率与榫卯结构

北京卷第4题考查的是等比数列问题计算，所用模型是明代科学家朱载堉的“十二平均率”，这是当时领先世界的音律理论。我国从战国开始在计算音律时就使用“三分损益法”：以黄钟九寸开始，进行三分损益，通过一损一益来计算律管的长度，得到一个八度音中的12律。“三分损益”，即在原数基础上减少（损）或增加（益）三分之一，例如：黄钟长9寸，三分损一得6寸为林钟；林钟6寸三分益一得8寸为太簇，等等。朱载堉是明代一位失意的皇家子孙，被封为郑世子，他坚持数学、音律学和天文学研究，取得了不少成就。他在世界上第一次使用十二平均律。十二平均律将八度音程平均分为12份，各律构成以为公比的等比级数。朱载堉在计算时需要计算2的24次方根，他用多架算盘拼起来计算，得出了很好的结果。明代的外国传教士把他的工作介绍到国外，引起了重要反响，他因此以“王子朱载堉”名扬海外。

全国Ⅲ卷理科数学第3题考查考生对三视图的理解能力，所用模型是中国古代建筑中闻名于世的榫卯结构。中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫“榫头”，凹进部分叫“卯眼”，在现存古建筑中随处可见。从数学的观点看榫卯结构，实际上就是一些几何图形的组合。

以上二题有助于引导学生了解中国传统文化。

五、结语

前几年高考试题主要是将历史材料作为背景材料以提醒中学数学教师的注意，近两年则直接以历史算法、定理或原题作为考查内容。无论是古希腊的数学家，还是三国时代的刘徽；无论是化圆为方，还是《张邱建算经》里的“百鸡问题”；无论是古建筑的榫卯结构，还是近代的哥德巴赫猜想，从考查数学史与文化的宽度和广度来看，都胜过往年。此外，综合地看，对于数学史考察的范围是相当广泛的，古今中外都有涉及。这表明高考对数学史与数学文化的要求正在趋于提高。

随着2018年数学高考试题难度的降低，今后对数学史与数学文化的考查可能会有所加强。中学数学教师必须重视这个发展趋势。这对中学数学教学与学习提出了新的要求。要求学生除掌握教材中的历史阅读材料外，还应有适当的拓展，要系统地了解中国古代的数学史和著名的数学家，熟悉某些著名的经典结论。教师应有意识地结合相应的教学内容，将数学文化渗透在日常教学中，引导学生了解数学的发展历程，认识数学在科学技术、社会发展中的作用，特别是对有关数学史、数学文化背景的高考题，要关注其题目背后的历史背景，通过平时的学习，积累数学史、数学文化知识。认真解读这些考题背后的历史素材，会给学生打开一个新的认知空间，会为教师的数学史教学指明方向，更为学生更好地储备数学史、数学文化知识打下坚实的基础。