利用概率解决“游戏是否公平”类问题

杨 波

判断游戏公平与否，关键是根据规则用“树状图”或者“列表法”算出各自的概率，概率均等，则游戏公平，否则就不公平.设计游戏规则时，应先根据题意求出随机事件的各种可能出现的情况的概率，再根据其中概率相等时的情况设计公平的游戏规则，也可根据概率不相等时的情况设计公平的游戏规则.为了帮助同学们更好地理解，本文选取教材中具有代表性的习题进行分析，总结解题规律，并举例由此改编的中考题.

苏科版《数学》九年级上册4.3习题第3题：

如图1，A转盘的4个扇形的面积相等，B转盘的6个扇形的面积相等，有人设计了如下游戏规则：甲、乙两人分别任意转动转盘A、B各一次，当转盘停止转动时，将指针所落扇形中的2个数字相乘.如果所得的积是偶数，那么甲获胜；如果所得的积是奇数，那么乙获胜.

（1）你认为这样的规则公平吗？为什么？

（2）如果不公平，请设计一个你认为公平的规则，并说明理由.

图1

【解析】根据题意画出树状图.如图2所示，所有出现的等可能结果有24种，其中积为偶数的有18种结果，积为奇数的有6种结果.因此积为偶数的概率为，积为奇数的概率为，所以游戏规则不公平.

新游戏规则：把所得的两个数相加，若和为偶数，则甲胜；若和为奇数，则乙胜.（答案不唯一）

图2

【点评】本题主要考查概率与公平性、用树状图计算概率.

根据题意画出树状图，求出“积为偶数”和“积为奇数”两种情况的概率.若概率相同，则游戏公平；若概率不相同，则游戏不公平，需要修改游戏规则使游戏公平.

例1 （2018·浙江嘉兴）小明和小红玩抛硬币游戏，连续抛两次，小明说：“如果两次都是正面，那么你赢；如果两次是一正一反，则我赢.”小红赢的概率是_____，据此判断该游戏______（填“公平”或“不公平”）.

【解析】所有可能出现的结果如下表所示：

正反正 反（正，正）（反，正）（正，反）（反，反）

例2 （2018·山东青岛）小明和小亮计划暑期结伴参加志愿者活动.小明想参加敬老服务活动，小亮想参加文明礼仪宣传活动.他们想通过做游戏来决定参加哪个活动，于是小明设计了一个游戏，游戏规则是：在3张完全相同的卡片上分别标记4、5、6三个数字，一人先从3张卡片中随机抽出一张，记下数字后放回，另一人再从中随机抽出一张，记下数字，若抽出的两张卡片标记的数字之和为偶数，则按照小明的想法参加敬老服务活动，若抽出的两张卡片标记的数字之和为奇数，则按照小亮的想法参加文明礼仪宣传活动.你认为这个游戏公平吗？请说明理由.

【解析】不公平，列表如下：

10 11 12小明小亮 和6 5 9 1 0 4 5 6 4 8 9 1 0 11

由表可知，共有9种等可能结果，其中和为偶数有5种结果，和为奇数有4种结果，所以按照小明的想法参加敬老服务活动的概率为，按照小亮的想法参加文明礼仪宣传活动的概率为，因为≠，所以这个游戏不公平.