谈谈“开门大吉”“双色球”中的概率问题

2018-11-23 02:22甘志国
新高考·高三数学 2018年3期
关键词:开奖中奖号码

甘志国

一、“开门大吉”中的概率问题

中央电视台第3套节目“开门大吉”,相信很多人都看过,这里面有什么奥秘吗?笔者据此编拟了一道概率问题,一起来看看.

“开门大吉”的规则是:选手面对1~8号8扇大门,依次按响门上的门铃,门铃会播放一段音乐(将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎),选手需正确回答出这首歌的名字,方可获得该扇门对应的家庭梦想基金;回答每一扇门的问题后,选手可自由选择:带着奖金离开比赛,还是继续挑战后面的门以获得更多奖金;但是一旦回答错误,奖金将清零,选手也会离开比赛;每一扇门的听音时间为15 s(可自由支配,一次性听完,或多次听开始部分),15 s后选手必须回答,整个游戏过程中选手有一次求助亲友团的机会.选手闯过各扇门后所得的家庭梦想基金及累计家庭梦想基金依次是:

已知一位选手能闯过各关(把回答问题正确叫闯关成功,也叫闯过该关)的概率与该关的家庭梦想基金成反比,且该选手能闯过第一关的概率是1.

(1)求该选手能闯过八关的概率;

(2)请从统计角度分析该选手应决定闯几关后离开该比赛?

解 由题设可得该选手能闯过第1,2,3,…,8关的概率依次是

PI=P2=p3=1! p1=0.5, p5=p6=p7=0.2, P8 =O.1.

(1)该选手能闯过八关的概率是

P1 P2P3P4P5P6P7P8=0.0004.

(2)设该选手闯过第i关后所得的累计家庭梦想基金分别为随机变量Xi(i=1,2,3,…,8),可得E(X8)=30 000×0.000 4+0×0.999 6 =12(元).

所以E(Xi)(i=1,2,3,…,8)的最大值是E(X3)=3 000元,因而该选手应决定闯三关后离开该比赛.

二、“双色球”中的概率问题

1.“双色球”的中奖规则“双色球”每注2元,投注号码由6个红色球号码和1个蓝色球号码组成.红色球号码从1~33中选择;蓝色球号码从1~16中选择.双色球游戏,每期按彩票销售额的50%、15%和35%,分別计提彩票奖金、彩票发行费和彩票公益金.

“双色球”彩票单注奖金封顶的最高限额为1 000万元.

“双色球”彩票以投注者所选单注投注号码(复式投注按所覆盖的单注计)与当期开出中奖号码相符的球色和个数确定中奖等级:

一等奖:7个号码相符(6个红色球号码和1个蓝色球号码)(红色球号码顺序不限,下同);

二等奖:6个红色球号码相符;

三等奖:5个红色球号码和1个蓝色球号码相符;

四等奖:5个红色球号码,或4个红色球号码和1个蓝色球号码相符;

五等奖:4个红色球号码,或3个红色球号码和1个蓝色球号码相符;

六等奖:1个蓝色球号码相符(有无红色球号码相符均可).

当期每注投注号码只有一次中奖机会,不能兼中兼得.

2.任投一注“双色球”,中奖的概率是297247/430 272≈0.0670945.

(1)任投一注“双色球”,中一等奖的概率是p1=1/17721088'

(2)任投一注“双色球”,中二等奖的概率是p2=15/17721088'

中二等奖,即所投注的6个红色号码与开奖的6个红色号码完全相同(所投注的蓝色球号码与开奖的蓝色号码不同).因为从33个红色号码中任取6个有C633种情况,从16个蓝色号码中任取1个有C116种情况,而从15个蓝色号码(非中奖号码)中任取1个有C115种情况,

根据中奖规则,中六等奖包括三种情况:所投注的号码有2个红色球号码和1个蓝色球号码与开奖的相应号码相同;或1个红色球号码和1个蓝色球号码与开奖的相应号码相同;或0个红色球号码和1个蓝色球号码与开奖的相应号码相同.对应的概率分别为

3.任投一注“双色球”获得奖金的期望

我们任投一注“双色球”,不光关注其中奖的概率,还会关注其中奖的期望.

本文假设任买一注“双色球”,获得一等奖、二等奖、三等奖、四等奖、五等奖、六等奖的奖金分别是50 000元、5 000元、1 800元、300元、20元、5元.

由第2节的解答,可得奖金X的分布列及期望分别是

即任买一注“双色球”获得奖金的期望约是0.603 3941元.

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